Matemáticas de la distribución

En matemáticas y elección social , los problemas de distribución son una clase de problemas de división justa en los que el objetivo es dividir ( repartir ) un número entero de bienes idénticos de manera justa entre múltiples grupos con diferentes derechos . El ejemplo original de un problema de distribución implica distribuir escaños en una legislatura entre diferentes estados federales o partidos políticos . ^[1] Sin embargo, los métodos de distribución también se pueden aplicar a otras situaciones, incluidos los problemas de quiebra , ^[2] la ley de sucesiones (por ejemplo, la división de animales ), ^{[3] [4]} la planificación de la mano de obra (por ejemplo, las cuotas demográficas), ^[5] y el redondeo de porcentajes . ^[6]

Matemáticamente, un método de prorrateo es simplemente un método para redondear números reales a números enteros. A pesar de la simplicidad de este problema, cada método de redondeo sufre una o más paradojas , como lo demuestra el teorema de Balinski-Young . La teoría matemática del prorrateo identifica qué propiedades se pueden esperar de un método de prorrateo.

La teoría matemática del reparto fue estudiada ya en 1907 por el matemático Agner Krarup Erlang . ^{[ cita requerida ]} Posteriormente fue desarrollada con gran detalle por el matemático Michel Balinski y el economista Peyton Young . ^{[ 7 ]}

Las entradas para un método de prorrateo son:

• Número entero positivo que representa el número total de partidas a asignar. También se denomina tamaño de la cámara , ya que en muchos casos las partidas a asignar son escaños en una cámara de representantes.${\displaystyle h}$
• Un número entero positivo que representa el número de agentes a los que se deben asignar los elementos. Por ejemplo, pueden ser estados federales o partidos políticos .${\displaystyle n}$
• Un vector de números que representan derechos - representa el derecho del agente , es decir, la cantidad de elementos a los que tiene derecho (del total de ). Estos derechos se normalizan a menudo de modo que . Alternativamente, se pueden normalizar de modo que su suma sea ; en este caso, los derechos se denominan cuotas y se denotan por , donde y . Alternativamente, se da un vector de poblaciones ; aquí, el derecho del agente es .${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}t_{i}=1}$${\displaystyle h}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{i}:=t_{i}\cdot h}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}q_{i}=h}$${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t_{i}=p_{i}/\sum _{j=1}^{n}p_{j}}$

La salida es un vector de números enteros con , llamado una distribución de , donde es el número de elementos asignados al agente i . ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a_{i}}$

Para cada agente , el número real se denomina cuota de y denota la cantidad exacta de elementos que se deben asignar a . En general, una distribución "justa" es aquella en la que cada asignación es lo más cercana posible a la cuota . ${\displaystyle i}$${\displaystyle q_{i}:=t_{i}\cdot h}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$

Un método de distribución puede devolver un conjunto de vectores de distribución (en otras palabras: es una función multivaluada ). Esto es necesario, ya que en algunos casos no hay una manera justa de distinguir entre dos posibles soluciones. Por ejemplo, si (o cualquier otro número impar) y , entonces (50,51) y (51,50) son ambas soluciones igualmente razonables, y no hay una manera matemática de elegir una sobre la otra. Si bien tales empates son extremadamente raros en la práctica, la teoría debe tenerlos en cuenta (en la práctica, cuando un método de distribución devuelve múltiples salidas, una de ellas puede ser elegida por algunas reglas de prioridad externas, o lanzando una moneda , pero esto está más allá del alcance de la teoría matemática de distribución). ${\displaystyle h=101}$${\displaystyle t_{1}=t_{2}=1/2}$

Un método de distribución se denota por una función multivalor ; una solución particular es una función de un solo valor que selecciona una única distribución de . ${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$

Un método de distribución parcial es un método de distribución para valores fijos específicos de y ; es una función multivalor que solo acepta vectores . ${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle M^{*}(\mathbf {t} )}$${\displaystyle n}$

A veces, la entrada también contiene un vector de números enteros que representan los requisitos mínimos (es decir, la cantidad mínima de elementos que el agente debe recibir, independientemente de su derecho a recibirlos). Por lo tanto, hay un requisito adicional en la salida: para todos . ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}\geq r_{i}}$${\displaystyle i}$

Cuando los agentes son partidos políticos, estos números suelen ser 0, por lo que se omite este vector. Pero cuando los agentes son estados o distritos, estos números suelen ser positivos para garantizar que todos estén representados. Pueden ser los mismos para todos los agentes (por ejemplo, 1 para los estados de EE. UU., 2 para los distritos de Francia) o diferentes (por ejemplo, en Canadá o en el Parlamento Europeo).

A veces también existe un vector de requisitos máximos , pero esto es menos común.

Existen propiedades básicas que deberían cumplirse con cualquier método de distribución razonable. Los distintos autores les dieron nombres diferentes: los nombres de la izquierda son de Pukelsheim; ^{[8] : 75} Los nombres entre paréntesis de la derecha son de Balinsky y Young. ^[7]

• El anonimato (= simetría ) significa que la distribución no depende de los nombres o índices de los agentes. Formalmente, sies cualquier permutación de, entonces las distribuciones enson exactamente las permutaciones correspondientes de las distribuciones en. ${\displaystyle \mathbf {t'} }$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle M(\mathbf {t'} ,h)}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$
  • Este requisito tiene sentido cuando no hay requisitos mínimos o cuando los requisitos son los mismos; si no son los mismos, entonces el anonimato debe mantenerse sujeto a que se cumplan los requisitos.
• Equilibrio (= Balance ) significa que si dos agentes tienen derechos iguales , entonces su asignación debe diferir en como máximo 1:implica.${\displaystyle t_{i}=t_{j}}$${\displaystyle a_{i}\geq a_{j}-1}$
• La concordancia (= monotonía poblacional débil ) significa que un agente con un derecho estrictamente mayor recibe al menos la misma cantidad de elementos:implica.${\displaystyle t_{i}>t_{j}}$${\displaystyle a_{i}\geq a_{j}}$
• Decencia (= Homogeneidad ) significa que escalar el vector de derechos no cambia el resultado. Formalmente, para cada constante c (esto se satisface automáticamente si la entrada al método de distribución está normalizada).${\displaystyle M(c\cdot \mathbf {t} ,h)=M(\mathbf {t} ,h)}$
• Exactitud (= Proporcionalidad débil ) significa que si existe una solución perfecta, entonces debe seleccionarse. Formalmente, para normalizado , si la cuota de cada agente es un número entero, entonces debe contener un vector único . En otras palabras, si una h -distribución es exactamente proporcional a , entonces debe ser el único elemento de . ${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle q_{i}=t_{i}\cdot h}$${\displaystyle i}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{n})}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$
  • Exactitud fuerte ^{[9] : 13} significa que la exactitud también se cumple "en el límite". Es decir, si una secuencia de vectores de derechos converge a un vector de cuotas entero , entonces el único vector de asignación en todos los elementos de la secuencia es . Para ver la diferencia con la exactitud débil, considere la siguiente regla. (a) Dé a cada agente su cuota redondeada hacia abajo, ; (b) dé los escaños restantes iterativamente a los partidos más grandes. Esta regla es débilmente exacta, pero no fuertemente exacta. Por ejemplo, suponga que h = 6 y considere la secuencia de vectores de cuotas (4+1/ k , 2-1/ k ). La regla anterior produce la asignación (5,1) para todos los k , aunque el límite cuando k→∞ es el vector entero (4,2).${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{n})}$${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{n})}$${\displaystyle \lfloor q_{i}\rfloor }$
  • Proporcionalidad fuerte ^[7] significa que, además, si , y , y hay alguna h -prorrateación que es exactamente proporcional a , entonces debería ser el único elemento de . Por ejemplo, si una solución en es (3,3), entonces la única solución en debe ser (2,2). ^{[ ¿por qué? ]}${\displaystyle \mathbf {a'} \in M(\mathbf {t} ,h')}$${\displaystyle h<h'}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} '}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,6)}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,4)}$
• La completitud significa que, si se devuelve alguna distribución para una secuencia convergente de vectores de derechos, entonces también se devuelve para su vector límite. En otras palabras, el conjunto (el conjunto de vectores de derechos para los que es posible una distribución) es topológicamente cerrado . Un método incompleto se puede "completar" añadiendo la distribución a cualquier derecho límite si y solo si pertenece a cada derecho en la secuencia. La completitud de un método de distribución simétrico y proporcional es completa, simétrica y proporcional. ^{[7] : Prop.2.2}${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \{\mathbf {t} |\mathbf {a} \in M(\mathbf {t} ,h)\}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$
  • La completitud se ve violada por métodos que aplican una regla de desempate externa, como hacen en la práctica muchos países. La regla de desempate se aplica solo en el caso límite, por lo que podría romper la completitud.
  • La completitud y la precisión débil juntas implican precisión fuerte. Si se modifica un método completo y débilmente exacto agregando una regla de desempate adecuada, la regla resultante ya no es completa, pero sigue siendo precisión fuerte. ^{[9] : 13}

La proporcionalidad de la distribución de los escaños se puede medir mediante la relación entre escaños y votos y el índice de Gallagher . La proporcionalidad de la distribución de los escaños, junto con los umbrales electorales, influyen en la fragmentación política y en las barreras de entrada a la competencia política. ^[10]

Existen muchos métodos de distribución y pueden clasificarse en varios enfoques.

1. Los métodos de mayor resto comienzan calculando el vector de cuotas redondeadas hacia abajo, es decir,. Si la suma de estos valores redondeados es exactamente, entonces este vector se devuelve como la distribución única. Normalmente, la suma es menor que. En este caso, los elementos restantes se asignan entre los agentes de acuerdo con sus restos : el agente con el mayor resto recibe un asiento, luego el agente con el segundo mayor resto recibe un asiento, y así sucesivamente, hasta que se asignan todos los elementos. Hay varias variantes del método LR, según la cuota que se utilice: ${\displaystyle \lfloor q_{1}\rfloor ,\ldots ,\lfloor q_{n}\rfloor }$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle q_{i}-\lfloor q_{i}\rfloor }$
   • La cuota simple, también llamada cuota Hare , es . El uso de LR con la cuota Hare conduce al método de Hamilton .${\displaystyle t_{i}h}$
   • La cuota de Hagenbach-Bischoff , también llamada cuota de Droop exacta, es . Las cuotas en este método son mayores, por lo que quedan menos elementos. En teoría, es posible que la suma de las cuotas redondeadas hacia abajo sea mayor que , pero esto rara vez sucede en la práctica.${\displaystyle t_{i}\cdot (h+1)}$${\displaystyle h+1}$${\displaystyle h}$
2. Los métodos divisores , en lugar de utilizar un multiplicador fijo en la cuota (comoo), eligen el multiplicador de modo que la suma de las cuotas redondeadas sea exactamente igual a, de modo que no queden elementos para asignar. Formalmente,los métodos divisores difieren por el método que utilizan para redondear. Un método divisor está parametrizado por una función divisor que especifica, para cada entero, un número real en el intervalo. Esto significa que todos los números endeben redondearse hacia abajo a, y todos los números endeben redondearse hacia arriba a. La función de redondeo se denota por, y devuelve un enterotal que. El númeroen sí puede redondearse tanto hacia arriba como hacia abajo, de modo que la función de redondeo tiene múltiples valores. Por ejemplo, el método de Adams utiliza, que corresponde a redondear hacia arriba; el método D'Hondt/Jefferson utiliza, que corresponde a redondear hacia abajo; y el método Webster/Sainte-Laguë utiliza , que corresponde a redondear al entero más cercano. El método del divisor también se puede calcular de forma iterativa: inicialmente,se establece en 0 para todos los partidos. Luego, en cada iteración, el siguiente escaño se asigna a un partido que maximiza la proporción .${\displaystyle h}$${\displaystyle h+1}$${\displaystyle h}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h):=\{\mathbf {a} |a_{i}=\operatorname {round} (t_{i}\cdot H){\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h{\text{ for some real number }}H\}.}$ ${\displaystyle d(k)}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle [k,k+1]}$${\displaystyle [k,d(k)]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle [d(k),k+1]}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle \operatorname {round} ^{d}(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d(k-1)\leq x\leq d(k)}$${\displaystyle d(k)}$${\displaystyle d(k)=k}$${\displaystyle d(k)=k+1}$${\displaystyle d(k)=k+0.5}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle {\frac {t_{i}}{d(a_{i})}}}$
3. Los métodos de índice de rango están parametrizados por una funciónque es decreciente en. La distribución se calcula de manera iterativa. Inicialmente, se estableceen 0 para todos los partidos. Luego, en cada iteración, se asigna el siguiente escaño a un agente que maximiza . Los métodos divisores son un caso especial de métodos de índice de rango: un método divisor con función divisores equivalente a un método de índice de rango con índice de rango .${\displaystyle r(t,a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle r(t_{i},a_{i})}$${\displaystyle d(a)}$${\displaystyle r(t,a)=t/d(a)}$
4. Los métodos basados ​​en la optimización tienen como objetivo lograr, para cada instancia, una asignación que sea "lo más justa posible" para esa instancia. Una asignación es "justa" si para todos los agentes i ; en este caso, decimos que la "injusticia" de la asignación es 0. Si se viola esta igualdad, se puede definir una medida de "injusticia total" e intentar minimizarla. Se puede minimizar la suma de los niveles de injusticia, o el nivel máximo de injusticia. Cada criterio de optimización conduce a una regla de distribución óptima diferente .${\displaystyle a_{i}=q_{i}}$

La cuota exacta del agente es . Un requisito básico de un método de distribución es que asigne a cada agente su cuota si es un entero; de lo contrario, debe asignarle un entero que esté cerca de la cuota exacta, es decir, su cuota inferior o su cuota superior . ^[11] Decimos que un método de distribución - ${\displaystyle i}$${\displaystyle q_{i}=t_{i}\cdot h}$${\displaystyle i}$${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \lfloor q_{i}\rfloor }$ ${\displaystyle \lceil q_{i}\rceil }$

• Satisface la cuota más baja para todos (esto es válido solo si y solo si ).${\displaystyle a_{i}\geq \lfloor q_{i}\rfloor }$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}+1>q_{i}}$
• Satisface la cuota superior si es para todos (esto es válido solo si es así ).${\displaystyle a_{i}\leq \lceil q_{i}\rceil }$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}-1<q_{i}}$
• Satisface ambas cuotas si se cumplen ambas condiciones anteriores (esto se cumple solo si ).${\displaystyle {\frac {q_{i}}{a_{i}+1}}<1<{\frac {q_{i}}{a_{i}-1}}}$

El método del mayor resto de Hamilton satisface tanto la cuota inferior como la cuota superior por construcción. Esto no se cumple para los métodos del divisor. ^{[7] : Prop.6.2, 6.3, 6.4, 6.5}

• Todos los métodos divisores satisfacen ambas cuotas cuando hay 2 agentes;
• El método de Webster es el único método divisor que satisface ambas cuotas para 3 agentes;
• El método de Adams es el único método divisor que satisface la cuota superior para cualquier número de agentes;
• El método de Jefferson es el único método divisor que satisface una cuota inferior para cualquier número de agentes;
• Ningún método divisor viola simultáneamente la cuota superior de un agente y la cuota inferior de otro agente.

Por lo tanto, ningún método divisor satisface tanto la cuota superior como la cuota inferior para cualquier número de agentes. La singularidad de Jefferson y Adams se mantiene incluso en la clase mucho más grande de métodos de índice de rango . ^[12]

Esto puede verse como una desventaja de los métodos divisores, pero también puede considerarse una desventaja del criterio de cuota: ^{[7] : 129}

" Por ejemplo, dar a D 26 en lugar de 25 escaños en la Tabla 10.1 significaría quitarle un escaño a uno de los estados más pequeños A, B o C. Tal transferencia penalizaría la representación per cápita del estado pequeño mucho más -en términos absolutos y relativos- de lo que se penaliza al estado D al obtener un escaño menos que su cuota inferior. Se pueden inventar ejemplos similares en los que un estado podría obtener razonablemente más que su cuota superior. Se puede argumentar que permanecer dentro de la cuota no es realmente compatible con la idea de proporcionalidad en absoluto, ya que permite una variación mucho mayor en la representación per cápita de los estados más pequeños que en el caso de los estados más grandes ".

En las simulaciones de Montecarlo, el método de Webster satisface ambas cuotas con una probabilidad muy alta. Además, el método de Webster es el único método de división que satisface la cuota cercana : ^{[7] : Teoría 6.2} no hay agentes tales que mover un escaño de a los acerque a sus cuotas:${\displaystyle i,j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle q_{i}-(a_{i}-1)~<~a_{i}-q_{i}~~{\text{ and }}~~(a_{j}+1)-q_{j}~<~q_{j}-a_{j}}$.

El método de Jefferson se puede modificar para satisfacer ambas cuotas, lo que produce el método de Cuota-Jefferson. ^[11] Además, cualquier método de divisor se puede modificar para satisfacer ambas cuotas. ^[13] Esto produce el método de Cuota-Webster, el método de Cuota-Hill, etc. Esta familia de métodos a menudo se denomina métodos de cuatatona , ^[12] ya que satisfacen tanto las cuotas como la monotonía de la casa .

Una forma de evaluar los métodos de distribución es si minimizan la cantidad de desigualdad entre pares de agentes. Claramente, la desigualdad debe tener en cuenta los diferentes derechos: si entonces los agentes son tratados "por igual" (con respecto a sus derechos); de lo contrario, si entonces el agente es favorecido, y si entonces el agente es favorecido. Sin embargo, dado que hay 16 formas de reordenar la igualdad , hay muchas formas correspondientes de definir la desigualdad. ^{[7] : 100–102}${\displaystyle a_{i}/t_{i}=a_{j}/t_{j}}$${\displaystyle a_{i}/t_{i}>a_{j}/t_{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}/t_{i}<a_{j}/t_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle a_{i}/t_{i}=a_{j}/t_{j}}$

• ${\displaystyle |a_{i}/t_{i}-a_{j}/t_{j}|}$El método de Webster es el único método de distribución en el que, para cada par de agentes y , esta diferencia se minimiza (es decir, mover un asiento de a o viceversa no haría que la diferencia fuera menor).${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle a_{i}-(t_{i}/t_{j})a_{j}}$Esto nos lleva al método de Adams.${\displaystyle a_{i}/t_{i}\geq a_{j}/t_{j}}$
• ${\displaystyle a_{i}(t_{j}/t_{i})-a_{j}}$para . Esto nos lleva al método de Jefferson.${\displaystyle a_{i}/t_{i}\geq a_{j}/t_{j}}$
• ${\displaystyle |t_{i}/a_{i}-t_{j}/a_{j}|}$Esto nos lleva al método de Dean.
• ${\displaystyle \left|{\frac {a_{i}/t_{i}}{a_{j}/t_{j}}}-1\right|}$Esto nos lleva al método Huntington-Hill.

Este análisis fue realizado por Huntington en la década de 1920. ^{[14] [15] [16]} Algunas de las posibilidades no conducen a una solución estable. Por ejemplo, si definimos la desigualdad como , entonces hay casos en los que, para cualquier asignación, mover un escaño de un agente a otro podría disminuir su desigualdad por pares. Hay un ejemplo con 3 estados con poblaciones (737,534,329) y 16 escaños. ^{[7] : Prop.3.5}${\displaystyle |a_{i}/a_{j}-t_{i}/t_{j}|}$

El sesgo en la distribución de escaños es la tendencia de un método de distribución a favorecer sistemáticamente a los partidos grandes o pequeños. El método de Jefferson y el método de Droop están fuertemente sesgados a favor de los estados grandes; el método de Adams está sesgado a favor de los estados pequeños; y los métodos de Webster y Huntington-Hill son efectivamente imparciales a favor de los estados grandes o pequeños.

Las propiedades de consistencia son propiedades que caracterizan a un método de distribución , en lugar de una distribución en particular. Cada propiedad de consistencia compara los resultados de un método particular en diferentes entradas. Se han estudiado varias de estas propiedades.

La monotonía entre estado y población significa que, si los derechos de un agente aumentan, su distribución no debería disminuir. El nombre proviene del contexto en el que los agentes son estados federales , cuyos derechos están determinados por su población. Una violación de esta propiedad se denomina paradoja de la población . Existen varias variantes de esta propiedad. Una variante, la PM por pares , se satisface exclusivamente con métodos divisores. Es decir, un método de distribución es PM por pares si y solo si es un método divisor. ^{[7] : Teoría 4.3}

Cuando y , ningún método de distribución parcial satisface la PM por pares, la cuota inferior y la cuota superior. ^{[7] : Teoría 6.1} Combinado con las afirmaciones anteriores, implica que ningún método divisor satisface ambas cuotas. ${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle h\geq n+3}$

La monotonía de las cámaras significa que, cuando el número total de escañosaumenta, ningún agente pierde un escaño. La violación de esta propiedad se llama paradoja de Alabama . Se consideró particularmente importante en los primeros días de los EE. UU., cuando el tamaño del congreso aumentaba cada diez años. La monotonía de las cámaras es más débil que la de los PM por pares. Todos los métodos de índice de rango (y, por lo tanto, todos los métodos divisores) son monótonos en las cámaras: esto se desprende claramente del procedimiento iterativo. Además de los métodos divisores, existen otros métodos monótonos en las cámaras, y algunos de ellos también satisfacen ambas cuotas. Por ejemplo, el método de cuotas de Balinsky y Young satisface la monotonía de las cámaras y la cuota superior por construcción, y se puede demostrar que también satisface la cuota inferior. ^[11] Se puede generalizar: existe un algoritmo general que produce todos los métodos de distribución que son monótonos en las cámaras y satisfacen ambas cuotas. Sin embargo, todos estos métodos basados ​​en cuotas (Quota-Jefferson, Quota-Hill, etc.) pueden violar el método de elección por pares: hay ejemplos en los que un agente gana población pero pierde escaños. ^{[7] : Sec.7}${\displaystyle h}$

Uniformidad (también llamada coherencia ^[17] ) significa que, si tomamos un subconjunto de los agentes y aplicamos el mismo método a su asignación combinada , entonces el resultado es el vector . Todos los métodos de índice de rango (y por lo tanto todos los métodos divisores) son uniformes, ya que asignan asientos a los agentes en un método predeterminado - determinado por , y este orden no depende de la presencia o ausencia de otros agentes. Además, cada método uniforme que también sea anónimo y equilibrado debe ser un método de índice de rango. ^{[7] : Teoría 8.3}${\displaystyle 1,\ldots ,k}$${\displaystyle h_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$${\displaystyle r(t,a)}$

Todo método uniforme que sea también anónimo , débilmente exacto y concordante (= implica ) debe ser un método divisor. ^{[7] : Teoría 8.4} Además, entre todos los métodos anónimos: ^[12]${\displaystyle t_{i}>t_{j}}$${\displaystyle a_{i}\geq a_{j}}$

• El método de Jefferson es el único método uniforme que satisface la cuota más baja;
• El método de Adams es el único método uniforme que satisface la cuota superior;
• El método de Webster es el único método uniforme que se acerca a la cuota;
• Ningún método uniforme satisface ambas cuotas. En particular, el método de Hamilton y el método de cuotas no son uniformes. Sin embargo, el método de cuotas es el único método que satisface ambas cuotas además de la monotonía de las casas y la "consistencia de las cuotas", que es una forma más débil de uniformidad.

Cuando los agentes son partidos políticos, a menudo se dividen o se fusionan. La forma en que dicha división o fusión afecta la distribución de los votos tendrá un impacto en la fragmentación política . Supongamos que un determinado método de distribución de votos otorga a dos agentes algunos escaños respectivamente, y luego estos dos agentes forman una coalición y el método se reactiva. ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle a_{i},a_{j}}$

• Un método de reparto siempre fomenta las coaliciones si una coalición de dos partidos recibe al menos escaños (en otras palabras, es a prueba de divisiones : un partido no puede ganar un escaño dividiéndose).${\displaystyle a_{i}+a_{j}}$
• Un método de reparto siempre fomenta cismas si la coalición obtiene como máximo la mayor cantidad de escaños (en otras palabras, es a prueba de fusiones : dos partidos no pueden obtener un escaño mediante fusión).${\displaystyle a_{i}+a_{j}}$

Entre los métodos divisores: ^{[7] : Teoría 9.1, 9.2, 9.3}

• El método de Jefferson es el único método del divisor a prueba de división;
• El método de Adams es el único método divisor a prueba de fusión;
• El método de Webster no es a prueba de divisiones ni de fusiones, pero es "neutral en cuanto a coaliciones": cuando los votos se distribuyen aleatoriamente (con residuos uniformes ), una coalición tiene la misma probabilidad de ganar un escaño o de perderlo. ^{[7] : Prop.9.4}

Como se trata de métodos diferentes, ningún método divisor proporciona a cada coalición exactamente el mismo número de escaños. Además, esta singularidad se puede extender a la clase mucho más amplia de métodos de índice de rango . ^[12]${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle a_{i}+a_{j}}$

Una propiedad más débil, llamada "estabilidad de coalición", es que cada coalición debería recibir entre y escaños; por lo que un partido puede ganar como máximo un escaño al fusionarse o dividirse. ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle a_{i}+a_{j}-1}$${\displaystyle a_{i}+a_{j}+1}$

• El método de Hamilton es estable en términos de coalición. ^{[18] : Teoría 2  [12] : Apéndice}
• Un método divisor con divisor es estable en coalición si y solo si ; esto es válido para los cinco métodos divisores estándar. ^{[18] : Teoría 1}${\displaystyle d}$${\displaystyle d(a_{1}+a_{2})\leq d(a_{1})+d(a_{2})\leq d(a_{1}+a_{2}+1)}$

Además, cualquier método que satisfaga ambas cuotas es "casi estable desde el punto de vista de la coalición": otorga a cada coalición entre y escaños. ^[12]${\displaystyle a_{i}+a_{j}-2}$${\displaystyle a_{i}+a_{j}+2}$

La siguiente tabla resume los resultados de unicidad para las clases de métodos de distribución. Por ejemplo, la celda superior izquierda indica que el método de Jefferson es el único método divisor que satisface la regla de cuota inferior.

• Demostración en Javascript de varias reglas de distribución habituales

• Representación proporcional
• Representación proporcional de múltiples atributos. ^[19]
• Reparto cuando existen errores en los recuentos de población. ^[20]
• Reparto proporcional de la torta con diferentes derechos
• Asignación justa de artículos