respuesta ante colisiones

El grado de energía cinética relativa retenida después de una colisión, denominado restitución , depende de la elasticidad de los materiales de los cuerpos. El coeficiente de restitución entre dos materiales dados se modela como la relación entre la velocidad relativa posterior a la colisión de un punto de contacto a lo largo de la normal de contacto, con respecto a la velocidad relativa previa a la colisión del mismo punto a lo largo de la misma normal. Estos coeficientes se determinan típicamente de forma empírica para diferentes pares de materiales, como madera contra hormigón o caucho contra madera. Los valores cercanos a cero indican colisiones inelásticas, como un trozo de arcilla blanda que golpea el suelo, mientras que los valores cercanos a uno representan colisiones altamente elásticas, como una pelota de caucho que rebota contra una pared. La pérdida de energía cinética es relativa de un cuerpo con respecto al otro. Por lo tanto, el momento total de ambos cuerpos con respecto a una referencia común no cambia después de la colisión, de acuerdo con el principio de conservación del momento .${\displaystyle e\in [0..1]}$${\displaystyle e}$

Otro fenómeno de contacto importante es la fricción entre superficies, una fuerza que dificulta el movimiento relativo de dos superficies en contacto o de un cuerpo sumergido en un fluido. En esta sección, analizamos la fricción entre superficies de dos cuerpos en contacto estático relativo o en contacto deslizante. En la práctica, la fricción se debe a la microestructura imperfecta de las superficies, cuyas protuberancias se entrelazan, generando fuerzas reactivas tangenciales a las mismas.

Para superar la fricción entre dos cuerpos en contacto estático, las superficies deben separarse de alguna manera. Una vez en movimiento, el grado de afinidad superficial disminuye y, por lo tanto, los cuerpos en movimiento deslizante tienden a ofrecer menor resistencia al movimiento. Estas dos categorías de fricción se denominan, respectivamente, fricción estática y fricción dinámica .

El efecto de la fuerza de reacción durante el intervalo de colisión puede representarse, por lo tanto, mediante un impulso de reacción instantáneo , calculado como${\displaystyle \mathbf {f} _{r}(t)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle \mathbf {j} _{r}(t)\in \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbf {j} _{r}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {f} _{r}dt}$

Por deducción del principio de acción y reacción, si el impulso de colisión aplicado por el primer cuerpo sobre el segundo en un punto de contacto es , el contraimpulso aplicado por el segundo cuerpo sobre el primero es . La descomposición en magnitud y dirección del impulso a lo largo de la normal de contacto y su negación permite derivar una fórmula para calcular el cambio en las velocidades lineales y angulares de los cuerpos resultante de los impulsos de colisión. En las fórmulas subsiguientes, siempre se supone que apunta alejándose del cuerpo 1 y dirigiéndose hacia el cuerpo 2 en el punto de contacto.${\displaystyle \mathbf {p} _{r}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {j} _ {r}}$${\displaystyle -\mathbf {j} _ {r}}$${\displaystyle \pm \mathbf {j} _{r}=\pm j_{r}\mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle j_{r}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle -\mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Suponiendo que se conoce la magnitud del impulso de la colisión y utilizando las leyes del movimiento de Newton, la relación entre las velocidades pre y postlineales de los cuerpos es la siguiente:${\displaystyle j_{r}}$

donde, para el -ésimo cuerpo, es la velocidad lineal previa a la colisión y es la velocidad lineal posterior a la colisión.${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {v'} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$

De forma similar para las velocidades angulares

donde, para el -ésimo cuerpo, es la velocidad angular previa a la colisión, es la velocidad angular posterior a la colisión, es el tensor de inercia en el marco de referencia mundial y es el desplazamiento del punto de contacto compartido desde el centro de masa.${\displaystyle i}$${\displaystyle {\omega }_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\omega '}_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {I} _{i}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$

Las velocidades de los cuerpos en el punto de contacto se pueden calcular en términos de las respectivas velocidades lineales y angulares, utilizando${\displaystyle v_{p1},v_{p2}\in \mathbb {R} ^{3}}$

para . El coeficiente de restitución relaciona la velocidad relativa previa a la colisión del punto de contacto con la velocidad relativa posterior a la colisión a lo largo de la normal de contacto de la siguiente manera:${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \mathbf {v} _{r}=\mathbf {v} _{p2}-\mathbf {v} _{p1}}$${\displaystyle \mathbf {v'} _{r}=\mathbf {v'} _{p2}-\mathbf {v'} _{p1}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Sustituyendo las ecuaciones (1a), (1b), (2a), (2b) y (3) en la ecuación (4) y resolviendo para la magnitud del impulso de reacción se obtiene ^{[ 1 ]}${\displaystyle j_{r}}$

Por lo tanto, el procedimiento para calcular las velocidades lineales y angulares posteriores a la colisión es el siguiente:${\displaystyle \mathbf {v'} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {\omega '} _{i}}$

1. Calcule la magnitud del impulso de reacción en términos de , , , , , , , y usando la ecuación (5)${\displaystyle j_{r}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{r}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {I} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle e}$
2. Calcule el vector de impulso de reacción en términos de su magnitud y normal de contacto utilizando .${\displaystyle \mathbf {j} _{r}}$${\displaystyle j_{r}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \mathbf {j} _{r}=j_{r}\mathbf {\hat {n}} }$
3. Calcular las nuevas velocidades lineales en función de las velocidades antiguas , las masas y el vector de impulso de reacción utilizando las ecuaciones (1a) y (1b).${\displaystyle \mathbf {v'} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \mathbf {j} _{r}}$
4. Calcular las nuevas velocidades angulares en función de las velocidades angulares anteriores , los tensores de inercia y el impulso de reacción utilizando las ecuaciones (2a) y (2b).${\displaystyle \mathbf {\omega '} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {\omega } _{i}}$${\displaystyle \mathbf {I} _{i}}$${\displaystyle j_{r}}$

Uno de los modelos más populares para describir la fricción es el modelo de fricción de Coulomb . Este modelo define coeficientes de fricción estática y dinámica tales que . Estos coeficientes describen los dos tipos de fuerzas de fricción en términos de las fuerzas de reacción que actúan sobre los cuerpos. Más específicamente, las magnitudes de las fuerzas de fricción estática y dinámica se calculan en términos de la magnitud de la fuerza de reacción de la siguiente manera:${\displaystyle {\mu }_{s}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mu }_{d}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mu }_{s}>{\mu }_{d}}$${\displaystyle f_{s},f_{d}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{r}=|\mathbf {f} _{r}|}$

Este valor define la magnitud máxima de la fuerza de fricción necesaria para contrarrestar la componente tangencial de cualquier fuerza externa aplicada sobre un cuerpo relativamente estático, de modo que permanezca estático. Por lo tanto, si la fuerza externa es suficientemente grande, la fricción estática no puede contrarrestarla por completo, momento en el que el cuerpo adquiere velocidad y queda sujeto a una fricción dinámica de magnitud que actúa en contra de la velocidad de deslizamiento.${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{d}}$

El modelo de fricción de Coulomb define un cono de fricción dentro del cual la componente tangencial de una fuerza ejercida por un cuerpo sobre la superficie de otro en contacto estático se contrarresta con una fuerza igual y opuesta, de modo que se mantiene la configuración estática. Por el contrario, si la fuerza cae fuera del cono, la fricción estática da paso a la fricción dinámica.

Dada la normal de contacto y la velocidad relativa del punto de contacto, se puede definir un vector tangente , ortogonal a , de tal manera que${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{r}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} \in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

donde es la suma de todas las fuerzas externas sobre el cuerpo. La definición de múltiples casos de es necesaria para calcular de forma robusta la fuerza de fricción real tanto para los estados de contacto generales como particulares. De manera informal, el primer caso calcula el vector tangente a lo largo de la componente de velocidad relativa perpendicular a la normal de contacto . Si esta componente es cero, el segundo caso deriva en términos de la componente tangente de la fuerza externa . Si no hay velocidad tangencial ni fuerzas externas, entonces se asume que no hay fricción y puede establecerse como el vector cero. Por lo tanto, se calcula como${\displaystyle \mathbf {f} _{e}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$${\displaystyle \mathbf {f} _{f}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$${\displaystyle \mathbf {f} _{e}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$${\displaystyle \mathbf {f} _{f}\in \mathbb {R} ^{3}}$

Las ecuaciones (6a), (6b), (7) y (8) describen el modelo de fricción de Coulomb en términos de fuerzas. Adaptando el argumento para impulsos instantáneos, se puede derivar una versión del modelo de fricción de Coulomb basada en impulsos, que relaciona un impulso de fricción , que actúa a lo largo de la tangente , con el impulso de reacción . Integrando (6a) y (6b) sobre el intervalo de tiempo de colisión se obtiene${\displaystyle \mathbf {j} _{f}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$${\displaystyle \mathbf {j} _{r}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle [t_{0}..t_{1}]}$

donde es la magnitud del impulso de reacción que actúa a lo largo de la normal de contacto . De manera similar, al suponer que es constante durante todo el intervalo de tiempo, la integración de (8) produce${\displaystyle j_{r}=|\mathbf {j} _{r}|}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} }$

Las ecuaciones (5) y (10) definen un modelo de contacto basado en impulsos, ideal para simulaciones basadas en impulsos. Al utilizar este modelo, se debe tener cuidado al elegir los valores de y , ya que valores más altos pueden introducir energía cinética adicional en el sistema.${\displaystyle {\mu }_{s}}$${\displaystyle {\mu }_{d}}$