Función coercitiva

En matemáticas , una función coercitiva es aquella que "crece rápidamente" en los extremos del espacio en el que está definida. Dependiendo del contexto, se utilizan diferentes definiciones exactas de este concepto.

Un campo vectorial f  : R ⁿ → R ⁿ se denomina coercitivo si $${\displaystyle {\frac {f(x)\cdot x}{\|x\|}}\to +\infty {\text{ cuando }}\|x\|\to +\infty ,}$$ dónde "${\displaystyle \cdot }$" denota el producto escalar usual y${\displaystyle \|x\|}$denota la norma euclidiana usual del vector x .

Un campo vectorial coercitivo es en particular coercitivo en norma, ya que${\displaystyle \|f(x)\|\geq (f(x)\cdot x)/\|x\|}$para${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz . Sin embargo, una aplicación coercitiva en norma f  : R ⁿ → R ⁿ no es necesariamente un campo vectorial coercitivo. Por ejemplo, la rotación f  : R ² → R ² , f ( x ) = (− x ₂ , x ₁ ) de 90° es una aplicación coercitiva en norma que no es un campo vectorial coercitivo ya que${\displaystyle f(x)\cdot x=0}$por cada${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$.

Un operador autoadjunto${\displaystyle A:H\to H,}$dónde${\displaystyle H}$es un espacio de Hilbert real , se llama coercitivo si existe una constante${\displaystyle c>0}$de tal manera que $${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq c\|x\|^{2}}$$ a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle H.}$

Una forma bilineal${\displaystyle a:H\times H\to \mathbb {R} }$Se denomina coercitivo si existe una constante${\displaystyle c>0}$de tal manera que $${\displaystyle a(x,x)\geq c\|x\|^{2}}$$ a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle H.}$

Del teorema de representación de Riesz se deduce que cualquier simétrico (definido como${\displaystyle a(x,y)=a(y,x)}$a pesar de${\displaystyle x,y}$en${\displaystyle H}$), continuo (${\displaystyle |a(x,y)|\leq k\|x\|\,\|y\|}$a pesar de${\displaystyle x,y}$en${\displaystyle H}$y alguna constante${\displaystyle k>0}$) y forma bilineal coercitiva${\displaystyle a}$tiene la representación $${\displaystyle a(x,y)=\langle Ax,y\rangle }$$

para algún operador autoadjunto${\displaystyle A:H\to H,}$que luego resulta ser un operador coercitivo. Además, dado un operador autoadjunto coercitivo${\displaystyle A,}$la forma bilineal${\displaystyle a}$Definido como se indicó anteriormente, es coercitivo.

Si${\displaystyle A:H\to H}$Si es un operador coercitivo, entonces es una aplicación coercitiva (en el sentido de coercividad de un campo vectorial, donde hay que reemplazar el producto escalar por el producto interno más general). En efecto,${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq C\|x\|}$para grandes${\displaystyle \|x\|}$(si${\displaystyle \|x\|}$está acotado, entonces se deduce fácilmente); luego reemplazando${\displaystyle x}$por${\displaystyle x\|x\|^{-2}}$lo entendemos${\displaystyle A}$es un operador coercitivo. También se puede demostrar que lo contrario es cierto si${\displaystyle A}$es autoadjunto. Las definiciones de coercitividad para campos vectoriales, operadores y formas bilineales están estrechamente relacionadas y son compatibles.

Un mapeo${\displaystyle f:X\to X'}$entre dos espacios vectoriales normalizados${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$y${\displaystyle (X',\|\cdot \|')}$se denomina coercitivo de normas si y solo si $${\displaystyle \|f(x)\|'\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .}$$

De manera más general, una función${\displaystyle f:X\to X'}$entre dos espacios topológicos${\displaystyle X}$y${\displaystyle X'}$se denomina coercitivo si para cada subconjunto compacto${\displaystyle K'}$de${\displaystyle X'}$existe un subconjunto compacto${\displaystyle K}$de${\displaystyle X}$de tal manera que $${\displaystyle f(X\setminus K)\subseteq X'\setminus K'.}$$

La composición de una aplicación propia biyectiva seguida de una aplicación coercitiva es coercitiva.

Una función (de valor extendido)${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$se denomina coercitivo si $${\displaystyle f(x)\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .}$$ Una función coercitiva de valor real${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$es, en particular, coercitivo de normas. Sin embargo, una función coercitiva de normas${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$no es necesariamente coercitivo. Por ejemplo, la función identidad en${\displaystyle \mathbb {R} }$es coercitivo en cuanto a normas, pero no coercitivo.

• funciones radialmente no acotadas
• Lema de Lax-Milgram

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• Bashirov, Agamirza E (2003). Sistemas lineales parcialmente observables bajo ruidos dependientes . Basilea; Boston: Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-6999-X.
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, 2.ª ed . Berlín; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-41160-7.

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