Inferencia frecuentista

La inferencia frecuentista es un tipo de inferencia estadística basada en la probabilidad frecuentista , que equipara la "probabilidad" a la "frecuencia" y extrae conclusiones de los datos de muestra haciendo hincapié en la frecuencia o proporción de los resultados. La inferencia frecuentista es la base de la estadística frecuentista , en la que se fundamentan las metodologías consolidadas de las pruebas de hipótesis estadísticas y los intervalos de confianza .

El frecuentismo se basa en la premisa de que las estadísticas representan frecuencias probabilísticas. Esta perspectiva fue desarrollada principalmente por Ronald Fisher y el equipo de Jerzy Neyman y Egon Pearson . Ronald Fisher contribuyó a la estadística frecuentista al desarrollar el concepto frecuentista de "prueba de significancia", que consiste en el estudio de la significancia de una medida estadística en comparación con la hipótesis.

Neyman y Pearson extendieron las ideas de Fisher para aplicarlas a múltiples hipótesis. Plantearon que la razón de probabilidades de dos hipótesis dadas, al maximizar la diferencia entre ellas, conduce a la maximización de la probabilidad de superar un valor p dado . Esta relación sirve de base para los errores de tipo I y tipo II y los intervalos de confianza .

Para la inferencia estadística, el estadístico sobre el cual queremos hacer inferencias es${\displaystyle y\in Y}$donde el vector aleatorio${\displaystyle Y}$es una función de un parámetro desconocido,${\displaystyle \theta }$.

El parámetro${\displaystyle \theta }$, a su vez, se divide en (${\displaystyle \psi,\lambda}$), dónde${\displaystyle \psi }$es el parámetro de interés y${\displaystyle \lambda }$es el parámetro de molestia . Para mayor concreción,${\displaystyle \psi }$podría ser la media de la población,${\displaystyle \mu }$y el parámetro de molestia${\displaystyle \lambda }$la desviación estándar de la media poblacional,${\displaystyle \sigma }$. ^{[ 1 ]}

Por lo tanto, la inferencia estadística se ocupa de la esperanza de un vector aleatorio.${\displaystyle Y}$,${\displaystyle E(Y)=E(Y;\theta )=\int yf_{Y}(y;\theta )dy}$.

Para construir áreas de incertidumbre en la inferencia frecuentista, se utiliza un pivote que define el área alrededor de${\displaystyle \psi }$que se puede utilizar para proporcionar un intervalo para estimar la incertidumbre. El pivote es una probabilidad tal que para un pivote,${\displaystyle p}$, que es una función, que${\displaystyle p(t,\psi )}$está aumentando estrictamente en${\displaystyle \psi }$, dónde${\displaystyle t\in T}$es un vector aleatorio.

Esto permite que, para algunos${\displaystyle 0<c<1}$, podemos definir${\displaystyle P\{p(T,\psi )\leq p_{c}^{*}\}}$, que es la probabilidad de que la función pivote sea menor que algún valor bien definido. Esto implica${\displaystyle P\{\psi \leq q(T,c)\}=1-c}$, dónde${\displaystyle q(t,c)}$es un${\displaystyle 1-c}$límite superior para${\displaystyle \psi }$.

Tenga en cuenta que${\displaystyle 1-c}$ es un rango de resultados que definen un límite unilateral para${\displaystyle \psi }$y que${\displaystyle 1-2c}$es un límite bilateral para${\displaystyle \psi }$, cuando queremos estimar un rango de resultados donde${\displaystyle \psi }$puede ocurrir. Esto define rigurosamente el intervalo de confianza , que es el rango de resultados sobre los cuales podemos hacer inferencias estadísticas.

Dos conceptos complementarios en la inferencia frecuentista son la reducción fisheriana y los criterios operacionales de Neyman-Pearson. Juntos, estos conceptos ilustran una forma de construir intervalos frecuentistas que definen los límites para${\displaystyle \psi }$. La reducción de Fisher es un método para determinar el intervalo dentro del cual el verdadero valor de${\displaystyle \psi }$puede mentir, mientras que el criterio operativo de Neyman-Pearson es una regla de decisión sobre hacer suposiciones de probabilidad a priori .

La reducción de Fisher se define de la siguiente manera:

• Determinar la función de verosimilitud (esto generalmente consiste simplemente en recopilar los datos);
• Reducir a una estadística suficiente${\displaystyle S}$de la misma dimensión que${\displaystyle \theta }$;
• Encuentra la función de${\displaystyle S}$que tiene una distribución que depende únicamente de${\displaystyle \psi }$;
• Invierta esa distribución (esto produce una función de distribución acumulativa o CDF) para obtener límites para${\displaystyle \psi }$en un conjunto arbitrario de niveles de probabilidad;
• Utilice la distribución condicional de los datos proporcionados.${\displaystyle S=s}$informal o formalmente para evaluar la adecuación de la formulación. ^{[ 2 ]}

Esencialmente, la reducción de Fisher está diseñada para encontrar dónde se puede utilizar la estadística suficiente para determinar el rango de resultados donde${\displaystyle \psi }$puede ocurrir en una distribución de probabilidad que define todos los valores potenciales de${\displaystyle \psi }$. Esto es necesario para formular intervalos de confianza, donde podemos encontrar un rango de resultados sobre el cual${\displaystyle \psi }$Es probable que esto ocurra a largo plazo.

Los criterios operativos de Neyman-Pearon son una comprensión aún más específica del rango de resultados donde la estadística relevante,${\displaystyle \psi }$Se puede decir que esto ocurre a largo plazo. El criterio operativo de Neyman-Pearson define la probabilidad de que ese rango sea realmente adecuado o inadecuado. El criterio de Neyman-Pearson define el rango de la distribución de probabilidad que, si${\displaystyle \psi }$existe en este rango, todavía está por debajo de la verdadera estadística de la población. Por ejemplo, si la distribución de la reducción de Fisher supera un umbral que consideramos a priori implausible, entonces la evaluación de esa distribución de la reducción de Neyman-Pearson puede usarse para inferir dónde mirar solo las distribuciones de la reducción de Fisher puede darnos resultados inexactos. Por lo tanto, la reducción de Neyman-Pearson se usa para encontrar la probabilidad de errores de tipo I y tipo II . ^{[ 3 ]} Como punto de referencia, el complemento a esto en estadística bayesiana es el criterio de riesgo bayesiano mínimo .

Debido a la dependencia de los criterios de Neyman-Pearson en nuestra capacidad para encontrar una gama de resultados donde${\displaystyle \psi }$Es probable que ocurra, el enfoque de Neyman-Pearson solo es posible cuando se puede lograr una reducción de Fisher. ^{[ 4 ]}

Las inferencias frecuentistas se asocian con la aplicación de la probabilidad frecuentista al diseño e interpretación experimental, y específicamente con la idea de que cualquier experimento dado puede considerarse una de una secuencia infinita de posibles repeticiones del mismo experimento, cada una capaz de producir resultados estadísticamente independientes . ^{[ 5 ]} Desde esta perspectiva, el enfoque de inferencia frecuentista para extraer conclusiones de los datos consiste, en efecto, en exigir que la conclusión correcta se extraiga con una probabilidad (alta) dada, dentro de este conjunto hipotético de repeticiones.

Sin embargo, se pueden desarrollar procedimientos idénticos bajo una formulación sutilmente diferente. Esta adopta un punto de vista preexperimental. Se puede argumentar que el diseño de un experimento debería incluir, antes de su realización, decisiones sobre los pasos exactos que se seguirán para llegar a una conclusión a partir de los datos aún por obtener. Estos pasos pueden ser especificados por el científico para que exista una alta probabilidad de llegar a una decisión correcta, donde, en este caso, la probabilidad se relaciona con un conjunto de eventos aleatorios aún por ocurrir y, por lo tanto, no depende de la interpretación de la probabilidad en términos de frecuencia. Esta formulación ha sido analizada por Neyman, ^{[ 6 ]} entre otros. Esto es especialmente pertinente porque la significancia de una prueba frecuentista puede variar bajo la selección del modelo, lo que constituye una violación del principio de verosimilitud.

El frecuentismo estudia la probabilidad partiendo del supuesto de que los resultados se producen con una frecuencia determinada durante un periodo de tiempo o mediante muestreos repetidos. Por lo tanto, el análisis frecuentista debe formularse considerando los supuestos del problema que intenta analizar. Esto requiere determinar si la cuestión en cuestión se centra en comprender la variabilidad de una estadística o en hallar su verdadero valor. La diferencia entre estos supuestos es fundamental para interpretar una prueba de hipótesis .

Existen, a grandes rasgos, dos enfoques principales de la inferencia estadística: el enfoque epistémico y el enfoque epidemiológico . El enfoque epistémico estudia la variabilidad ; es decir, con qué frecuencia esperamos que una estadística se desvíe de un valor observado. El enfoque epidemiológico se centra en el estudio de la incertidumbre ; en este enfoque, el valor de la estadística es fijo, pero nuestra comprensión de dicha estadística es incompleta. ^{[ 7 ]} Para ilustrarlo, imaginemos que intentamos medir la cotización de una acción en comparación con evaluar su precio. El mercado bursátil fluctúa tanto que intentar determinar con exactitud el precio de una acción resulta inútil: el mercado bursátil se comprende mejor mediante el enfoque epistémico, donde podemos intentar cuantificar sus movimientos volátiles. Por el contrario, el precio de un activo puede no variar mucho de un día para otro: es mejor determinar el valor real del activo que encontrar un rango de precios, por lo que el enfoque epidemiológico es más adecuado. La diferencia entre estos enfoques no es trivial a efectos de inferencia.

Para el enfoque epistémico, formulamos el problema como si quisiéramos atribuir probabilidad a una hipótesis. Esto solo se puede hacer con la estadística bayesiana, donde la interpretación de la probabilidad es directa porque la estadística bayesiana está condicionada a todo el espacio muestral, mientras que la prueba frecuentista se ocupa de todo el diseño experimental. La estadística frecuentista está condicionada no solo a los datos, sino también al diseño experimental . ^{[ 8 ]} En la estadística frecuentista, el umbral para comprender la ocurrencia de frecuencia se deriva de la distribución de la familia utilizada en el diseño experimental. Por ejemplo, se puede usar una distribución binomial y una distribución binomial negativa para analizar exactamente los mismos datos, pero debido a que sus extremos son diferentes, el análisis frecuentista dará lugar a diferentes niveles de significación estadística para los mismos datos que asumen diferentes distribuciones de probabilidad. Esta diferencia no se produce en la inferencia bayesiana. Para más información, véase el principio de verosimilitud , que la estadística frecuentista viola inherentemente. ^{[ 9 ]}

Para el enfoque epidemiológico, es necesario analizar la idea central de la estadística frecuentista. Esta estadística está diseñada para que, a largo plazo , se pueda comprender la frecuencia de un estadístico y, a largo plazo, inferir el rango de su media verdadera. Esto conduce a la reducción de Fisher y a los criterios operativos de Neyman-Pearson, mencionados anteriormente. Al definir la reducción de Fisher y los criterios operativos de Neyman-Pearson para cualquier estadístico, evaluamos, según estos autores, la probabilidad de que el valor verdadero del estadístico se encuentre dentro de un rango determinado de resultados, asumiendo un número de repeticiones de nuestro método de muestreo. ^{[ 8 ]} Esto permite realizar inferencias donde, a largo plazo, podemos definir que los resultados combinados de múltiples inferencias frecuentistas significan que un intervalo de confianza del 95 % implica literalmente que la media verdadera se encuentra dentro del intervalo de confianza el 95 % de las veces, pero no que la media se encuentre dentro de un intervalo de confianza particular con un 95 % de certeza. Esta es una idea errónea común.

Muy comúnmente, la visión epistémica y la visión epidemiológica se consideran erróneamente interconvertibles. En primer lugar, la visión epistémica se centra en torno a las pruebas de significación de Fisher que están diseñadas para proporcionar evidencia inductiva contra la hipótesis nula,${\displaystyle H_{0}}$, en un solo experimento, y se define por el valor p de Fisher. Por el contrario, la perspectiva epidemiológica, realizada con la prueba de hipótesis de Neyman-Pearson, está diseñada para minimizar los errores de falsa aceptación de tipo II a largo plazo al proporcionar minimizaciones de errores que funcionan a largo plazo. La diferencia entre ambas es crucial porque la perspectiva epistémica enfatiza las condiciones bajo las cuales podríamos encontrar que un valor es estadísticamente significativo; mientras tanto, la perspectiva epidemiológica define las condiciones bajo las cuales los resultados a largo plazo presentan resultados válidos. Estas son inferencias extremadamente diferentes, porque las conclusiones epistémicas puntuales no informan sobre los errores a largo plazo, y los errores a largo plazo no pueden usarse para certificar si los experimentos puntuales tienen sentido. Atribuir los sucesos a largo plazo a experimentos puntuales es una atribución errónea, y atribuir las tendencias a largo plazo a experimentos individuales es un ejemplo de la falacia ecológica. ^{[ 10 ]}

Las inferencias frecuentistas contrastan con otros tipos de inferencias estadísticas, como las inferencias bayesianas y las inferencias fiduciales . Si bien a veces se considera que la " inferencia bayesiana " incluye el enfoque de inferencias que conducen a decisiones óptimas , aquí se adopta una perspectiva más restringida por simplicidad.

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