Polígono tangente

En geometría euclidiana , un polígono tangente , también conocido como polígono circunscrito , es un polígono convexo que contiene una circunferencia inscrita (también llamada círculo inscrito ). Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del polígono. El polígono dual de un polígono tangente es un polígono cíclico , que tiene una circunferencia circunscrita que pasa por cada uno de sus vértices .

Todos los triángulos son tangentes, al igual que todos los polígonos regulares con cualquier número de lados. Un grupo bien estudiado de polígonos tangentes son los cuadriláteros tangentes , que incluyen los rombos y los cometas .

Un polígono convexo tiene una circunferencia inscrita si y solo si todas las bisectrices de sus ángulos internos son concurrentes . Este punto común es el incentro (el centro de la circunferencia inscrita). ^{[ 1 ]}

Existe un polígono tangente de n lados consecutivos de longitudes a ₁ , ..., a _n si y solo si el sistema de ecuaciones

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}}$

tiene una solución ( x ₁ , ..., x _n ) en reales positivos . ^{[ 2 ]} Si existe tal solución, entonces x ₁ , ..., x _n son las longitudes tangentes del polígono (las longitudes desde los vértices hasta los puntos donde el círculo inscrito es tangente a los lados).

Si el número de lados n es impar, entonces para cualquier conjunto dado de longitudes de lados ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$que satisface el criterio de existencia anterior hay solo un polígono tangente. Pero si n es par hay una infinidad de ellos. ^{[ 3 ] : p. 389} Por ejemplo, en el caso del cuadrilátero donde todos los lados son iguales podemos tener un rombo con cualquier valor de los ángulos agudos, y todos los rombos son tangentes a un círculo inscrito.

En cualquier polígono tangente (un polígono con un círculo inscrito), el área viene dada por:

${\displaystyle K=pr}$

dónde${\displaystyle K}$es el área del polígono,${\displaystyle p}$es su semiperímetro y${\displaystyle r}$es el radio interno.

De forma equivalente, el área se puede expresar como:

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}r\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

dónde${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$son las longitudes de los lados del polígono. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• Para un polígono tangente con un número impar de lados, todos los lados son iguales si y solo si todos los ángulos son iguales (por lo tanto, el polígono es regular). Un polígono tangente con un número par de lados tiene todos los lados iguales si y solo si los ángulos alternos internos son iguales (es decir, los ángulos A , C , E , ... son iguales, y los ángulos B , D , F , ... son iguales). ^{[ 6 ]}
• En un polígono tangente con un número par de lados, la suma de las longitudes de los lados impares es igual a la suma de las longitudes de los lados pares. ^{[ 2 ]}
• Un polígono tangente tiene un área mayor que cualquier otro polígono con el mismo perímetro y los mismos ángulos interiores en la misma secuencia. ^{[ 7 ] : pág. 862 [ 8 ]}
• El centroide de cualquier polígono tangente, el centroide de sus puntos límite y el centro del círculo inscrito son colineales , con el centroide del polígono situado entre los otros dos y al doble de distancia del incentro que del centroide del límite. ^{[ 7 ] : pp. 858–9}

Si bien todos los triángulos son tangentes a algún círculo, un triángulo se denomina triángulo tangente a un triángulo de referencia si las tangencias del triángulo tangente con el círculo son también los vértices del triángulo de referencia.

• En un hexágono tangente ABCDEF , las diagonales principales AD , BE y CF son concurrentes según el teorema de Brianchon .

• Circunvalación