Teorema de comparación de valores propios de Cheng

En geometría riemanniana , el teorema de comparación de valores propios de Cheng establece en términos generales que cuando un dominio es grande, el primer valor propio de Dirichlet de su operador de Laplace-Beltrami es pequeño. Esta caracterización general no es precisa, en parte porque la noción de "tamaño" del dominio también debe tener en cuenta su curvatura . ^{[ 1 ]} El teorema se debe a Cheng (1975b) por Shiu-Yuen Cheng . Usando bolas geodésicas , se puede generalizar a ciertos dominios tubulares ( Lee 1990 ) .

Sea M una variedad riemanniana de dimensión n , y sea B _M ( p , r ) una bola geodésica centrada en p con radio r menor que el radio de inyectividad de p ∈ M . Para cada número real k , sea N ( k ) la forma espacial simplemente conexa de dimensión n y curvatura seccional constante k . El teorema de comparación de valores propios de Cheng compara el primer valor propio λ ₁ ( B _M ( p , r )) del problema de Dirichlet en B _M ( p , r ) con el primer valor propio en B _{N ( k )} ( r ) para valores adecuados de k . El teorema consta de dos partes:     

• Supongamos que K _M , la curvatura seccional de M , satisface

${\displaystyle K_{M}\leq k.}$

Entonces

${\displaystyle \lambda _{1}\left(B_{N(k)}(r)\right)\leq \lambda _{1}\left(B_{M}(p,r)\right).}$

La segunda parte es un teorema de comparación para la curvatura de Ricci de M :

• Supongamos que la curvatura de Ricci de M satisface, para cada campo vectorial X ,

${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)\geq k(n-1)|X|^{2}.}$

Luego, con la misma notación que arriba,

${\displaystyle \lambda _{1}\left(B_{N(k)}(r)\right)\geq \lambda _{1}\left(B_{M}(p,r)\right).}$

SY Cheng utilizó el teorema de Barta para derivar el teorema de comparación de valores propios. Como caso especial, si k  =  −1 e inj( p )  =  ∞, la desigualdad de Cheng se convierte en λ ^* ( N ) ≥ λ ^* ( H ⁿ (−1)), que es la desigualdad de McKean . ^{[ 2 ]}  

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