El sesgo de Chebyshev

En teoría de números , el sesgo de Chebyshev es el fenómeno por el cual, en la mayoría de los casos, hay más números primos de la forma 4k +  3  que de la forma 4k  +  1, hasta el mismo límite. Este fenómeno fue observado por primera vez por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev en 1853.

Sea π ( x ; n , m ) el número de primos de la forma nk + m hasta x . Por el teorema de los números primos (extendido a progresiones aritméticas ),     

${\displaystyle \pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}}.}$

Es decir, la mitad de los primos son de la forma 4k +  1  , y la otra mitad de la forma 4k +  3.  Una suposición razonable sería que π ( x ;  4,  1) > π ( x ; 4, 3) y π ( x ; 4, 1) < π ( x ; 4, 3) también ocurren cada uno el 50% de las veces. Sin embargo, esto no está respaldado por evidencia numérica; de hecho, π ( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) ocurre con mucha más frecuencia. Por ejemplo, esta desigualdad se cumple para todos los primos x < 26833 excepto 5, 17, 41 y 461, para los cuales π ( x ; 4, 1) = π ( x ; 4, 3). El primer x tal que π ( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3) es 26861, es decir, π ( x ; 4, 3) ≥ π ( x ; 4, 1) para todo x < 26861.                                      

En general, si 0 < a , b < n son enteros, mcd ( a , n ) = mcd( b , n ) = 1, a es un residuo cuadrático módulo n , b es un no residuo cuadrático módulo n , entonces π ( x ; n , b ) > π ( x ; n , a ) ocurre con más frecuencia que no. Esto se ha demostrado solo asumiendo formas fuertes de la hipótesis de Riemann . La conjetura más fuerte de Knapowski y Turán , de que la densidad de los números x para los cuales π ( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) se cumple es 1 (es decir, se cumple para casi todo x ), resultó ser falsa. Sin embargo, tienen una densidad logarítmica , que es aproximadamente 0,9959.... ^{[ 1 ]}                        

Esto es para k = −4 para encontrar el primo p más pequeño tal que${\displaystyle \sum _{q\leq p,\ q\ {\text{es primo}}}\left({\frac {k}{q}}\right)>0}$(dónde${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)}$es el símbolo de Kronecker ), sin embargo, para un entero distinto de cero dado k (no solo k = −4), también podemos encontrar el primo más pequeño p que satisface esta condición. Por el teorema de los números primos, para cada entero distinto de cero k , hay infinitos primos p que satisfacen esta condición.

Para enteros positivos k = 1, 2, 3, ..., los primos más pequeños p son

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... (secuencia A326615 en el OEIS )

Para enteros negativos k = −1, −2, −3, ..., los primos más pequeños p son

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... (secuencia A392284 en el OEIS )

Para discriminantes fundamentales de campos cuadráticos reales ( k = 1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, ... (secuencia A003658 en el OEIS ) ), los primos más pequeños p son

2, 2082927221, 11100143, 61463, 2083, 2, 1217, 5, 3, 719, 2, 11, 3, 2, 7, 17, 11, 2, 7, 5, 2, 13, 2, 3, 23, 7, 3, 2, 13, 19, 2, 23, 17, 2, 5, 2, 7, 3, 2, 13, 3, 2, 19, 7, 2, 31, 31, 5, 17, 2, 13, 13, 3, 47, 2, 5, 3, 2, 37, 2, 47, 2, 5, 7, 2, 43, 2, 3, 11, 5, 3, 2, 29, ... (secuencia A306499 en el OEIS )

Para discriminantes fundamentales de campos cuadráticos imaginarios ( k = −3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, −35, −39, −40, −43, −47, −51, −52, −55, −56, −59, ... (secuencia A003657 en el OEIS ) ), los primos más pequeños p son

608981813029, 26861, 2, 3, 5, 2, 11, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 11, 53, 2, 13, 17, 2, 3, 5, 163, 3, 2, 2, 11, 5, 2, 31, 31, 2, 2, 3, 23, 2, 41, 3, 2, 13, 47, 2, 5, 19, 7, 11, 2, 191, 2, 3, 19, 2, 15073, 3, 2, 29, 5, 2, 41, 109, 2, 11, 2, 31, 59, 3, 2, 19, 2, 11, 53, 2, 1019, 137, ... (secuencia A306500 en el OEIS )

Para cada entero no cuadrado k (positivo o negativo) , hay más primos p con${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)=-1}$que con${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right)=1}$(hasta el mismo límite) en la mayoría de los casos.

Sean m y n enteros tales que m  ≥  0, n  >  0, mcd( m , n ) = 1, definamos una función  $${\displaystyle f(m,n)=\sum _{p{\text{ es primo, }}p\,\mid \,\varphi (n),\ x^{p}\,\equiv \,m{\pmod {n}}{\text{ tiene una solución }}}\left({\frac {1}{p}}\right),}$$dónde${\displaystyle \varphi }$es la función totiente de Euler .

Por ejemplo, f (1, 5) = f (4, 5) = 1/2, f (2, 5) = f (3, 5) = 0, f (1, 6) = 1/2, f (5, 6) = 0, f (1, 7) = 5/6, f (2, 7) = f (4, 7) = 1/2, f (3, 7) = f (5, 7) = 0, f (6, 7) = 1/3, f (1, 8) = 1/2, f (3, 8) = f (5, 8) = f (7, 8) = 0, f (1, 9) = 5/6, f (2, 9) = f (5, 9) = 0, f (4, 9) = f (7, 9) = 1/2, f (8, 9) = 1/3.

Se conjetura que si 0  < a , b < n son enteros, mcd( a , n ) = mcd( b , n ) = 1, f ( a , n ) > f ( b , n ), entonces π ( x ; n , b ) > π ( x ; n , a ) ocurre con más frecuencia que no.               

• PL Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4 n  +  1 et 4 n  +  3, Bull. Clase Física. Acad. Diablillo. Ciencia. San Petersburgo , 11 (1853), 208.
• Granville, Andrew ; Martin, Greg (2006). "Carreras de números primos". Amer. Math. Monthly . 113 (1): 1– 33. doi : 10.1080/00029890.2006.11920275 . JSTOR 27641834. S2CID 3846453 .  
• J. Kaczorowski: Sobre la distribución de números primos  (mod  4), Análisis , 15 (1995), 159-171.
• S. Knapowski, Turan: Teoría comparativa de los números primos, I, Acta Math. Acad. Sci. Hung. , 13 (1962), 299–314.
• Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994). "El sesgo de Chebyshev". Matemáticas Experimentales . 3 (3): 173– 197. doi : 10.1080/10586458.1994.10504289 .

• Weisstein, Eric W. "Sesgo de Chebyshev" . MathWorld .
• (secuencia A007350 en el OEIS ) (donde la carrera prima 4n+1 contra 4n+3 cambia de líder)
• (secuencia A007352 en el OEIS ) (donde la carrera de primos 3n+1 contra 3n+2 cambia de líder)