Charla barata

El emisor S obtiene información sobre el estado del mundo o sobre su "tipo" t . El receptor R desconoce t  ; solo tiene creencias previas al respecto y confía en un mensaje de S para posiblemente mejorar la precisión de sus creencias.

S decide enviar el mensaje m . El mensaje m puede revelar información completa, pero también puede proporcionar información limitada y poco clara: normalmente dirá "El estado del mundo está entre t ₁ y t ₂ ". Puede que no proporcione ninguna información.

La forma del mensaje no importa, siempre que haya entendimiento mutuo e interpretación común. Podría ser una declaración general del presidente de un banco central, un discurso político en cualquier idioma, etc. Cualquiera que sea la forma, en última instancia se entiende que significa "El estado del mundo está entre t ₁ y t ₂ ".

El receptor R recibe el mensaje m . R actualiza sus creencias sobre el estado del mundo en función de la nueva información que pueda obtener, utilizando la regla de Bayes . R decide realizar la acción a . Esta acción afecta tanto a su propia utilidad como a la del emisor.

La decisión de S respecto al contenido de m se basa en maximizar su utilidad, dado lo que espera que R haga. La utilidad es una forma de cuantificar la satisfacción o los deseos. Puede tratarse de beneficios financieros o de satisfacción no financiera, por ejemplo, el grado de protección del medio ambiente. → Utilidades cuadráticas: Las utilidades respectivas de S y R se pueden especificar de la siguiente manera: $${\displaystyle U^{S}(a,t)=-(atb)^{2}}$$$${\displaystyle U^{R}(a,t)=-(at)^{2}}$$

La teoría se aplica a formas más generales de utilidad, pero las preferencias cuadráticas facilitan la exposición. Así, S y R tienen objetivos diferentes si b ≠ 0. El parámetro b se interpreta como un conflicto de intereses entre los dos jugadores, o alternativamente como un sesgo. U ^R se maximiza cuando a = t , lo que significa que el receptor quiere tomar una acción que coincida con el estado del mundo, que desconoce en general. U ^S se maximiza cuando a = t + b , lo que significa que S quiere que se tome una acción ligeramente superior, si b > 0. Dado que S no controla la acción, S debe obtener la acción deseada eligiendo qué información revelar. La utilidad de cada jugador depende del estado del mundo y de las decisiones de ambos jugadores que finalmente conducen a la acción a .

Buscamos un equilibrio donde cada jugador tome una decisión óptima, suponiendo que el otro jugador también lo haga. Los jugadores son racionales, aunque R solo dispone de información limitada. Las expectativas se cumplen y no existe ningún incentivo para desviarse de esta situación.

Si bien los mensajes podrían asumir ex ante un número infinito de valores posibles μ(t) para el número infinito de estados posibles del mundo t , en realidad pueden tomar solo un número finito de valores (m ₁ , m ₂ , . . . , m _N ) .

Así, un equilibrio puede caracterizarse por una partición (t ₀ (N), t ₁ (N) ... t _N (N)) del conjunto de tipos [0, 1], donde 0 = t ₀ (N) < t ₁ (N) < ... < t _N (N) = 1. Esta partición se muestra en el segmento superior derecho de la Figura 1.

Los t _i (N) ' son los límites de los intervalos donde los mensajes son constantes: para t _i-1 (N) < t < t _i (N), μ(t) = m _i .

Dado que las acciones son funciones de los mensajes, las acciones también son constantes en estos intervalos: para t _i-1 (N) < t < t _i (N) , α(t) = α(m _i ) = a _i .

La función de acción ahora se caracteriza indirectamente por el hecho de que cada valor a _i optimiza el retorno para R , sabiendo que t está entre t ₁ y t ₂ . Matemáticamente (suponiendo que t se distribuye uniformemente sobre [0, 1]),

${\displaystyle a_{i}={\bar {a}}(t_{i-1},t_{i})=\mathrm {arg} \max _{a}\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}U^{R}(a,t)dt}$

→ Utilidades cuadráticas:

Dado que R sabe que t está entre t _i-1 y t _i , y en el caso especial de utilidad cuadrática donde R quiere que la acción a esté lo más cerca posible de t , podemos demostrar que, de forma bastante intuitiva, la acción óptima es el punto medio del intervalo: $${\displaystyle a_{i}={\frac {t_{i-1}+t_{i}}{2}}}$$

En t = t _i , el remitente debe ser indiferente entre enviar el mensaje m _i-1 o m _i . ${\displaystyle U^{S}(a_{i},t_{i})=U^{S}(a_{i+1},t_{i})}$   1 ≤ i ≤ N-1

Esto proporciona información sobre N y el t _i .

→ Prácticamente: Consideremos una partición de tamaño N. Se puede demostrar que$${\displaystyle t_{i}=t_{1}i+2bi(i-1)\qquad t_{1}={\frac {1-2bN(N-1)}{N}}}$$

N debe ser lo suficientemente pequeño para que el numerador sea positivo. Esto determina el valor máximo permitido.$${\displaystyle N^{*}=\langle -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{b}}}}\rangle }$$dónde${\displaystyle \langle Z\rangle }$es el techo de${\displaystyle Z}$, es decir, el entero positivo más pequeño mayor o igual que${\displaystyle Z}$Ejemplo: Suponemos que b = 1/20 . Entonces N ^* = 3. Ahora describimos todos los equilibrios para N=1 , 2 o 3 (véase la Figura 2).

N = 1: Este es el equilibrio de balbuceo. t ₀ = 0, t ₁ = 1 ; a ₁ = 1/2 = 0,5 .

N = 2: t ₀ = 0, t ₁ = 2/5 = 0,4, t ₂ = 1 ; a ₁ = 1/5 = 0,2, a ₂ = 7/10 = 0,7 .

N = N ^* = 3: t ₀ = 0, t ₁ = 2/15, t ₂ = 7/15, t ₃ = 1 ; a ₁ = 1/15, a ₂ = 3/10 = 0.3, a ₃ = 11/15 .

Con N = 1 , obtenemos el mensaje más burdo posible, que no proporciona ninguna información. Por lo tanto, todo aparece en rojo en el panel superior izquierdo. Con N = 3 , el mensaje es más preciso . Sin embargo, sigue siendo bastante burdo en comparación con la revelación completa, que correspondería a la línea de 45°, pero que no constituye un equilibrio de Nash.

Con un N mayor y un mensaje más preciso, el área azul cobra mayor importancia. Esto implica una mayor utilidad. Revelar más información beneficia a ambas partes.