Análisis del modo característico

Los modos característicos (MC) forman un conjunto de funciones que, bajo condiciones de contorno específicas, diagonalizan el operador que relaciona el campo con las fuentes inducidas . Bajo ciertas condiciones, el conjunto de MC es único y completo (al menos teóricamente) y, por lo tanto, capaz de describir completamente el comportamiento del objeto estudiado.

Este artículo trata sobre la descomposición en modos característicos en electromagnetismo , un dominio en el que se propuso originalmente la teoría CM.

La descomposición CM se introdujo originalmente como un conjunto de modos que diagonalizan una matriz de dispersión. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Posteriormente, Harrington y Mautz generalizaron la teoría para antenas. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Harrington, Mautz y sus estudiantes también desarrollaron sucesivamente varias otras extensiones de la teoría. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Aunque algunos precursores ^{[ 9 ]} se publicaron a finales de la década de 1940, el potencial completo de CM permaneció sin ser reconocido durante otros 40 años. Las capacidades de CM se revisaron ^{[ 10 ]} en 2007 y, desde entonces, el interés en CM ha aumentado drásticamente. El auge posterior de la teoría CM se refleja en el número de publicaciones y aplicaciones destacadas.

Para simplificar, en este artículo solo se tratará la forma original del modelo CM  , formulada para cuerpos perfectamente conductores eléctricos (PEC) en el espacio libre . Las magnitudes electromagnéticas se representarán únicamente como imágenes de Fourier en el dominio de la frecuencia . Se utiliza el calibre de Lorenz . 

La dispersión de una onda electromagnética en un cuerpo PEC se representa mediante una condición de contorno en el cuerpo PEC, a saber:

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }=-{\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} },}$

con${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}}$representando la normal unitaria a la superficie PEC,${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }}$representando la intensidad del campo eléctrico incidente, y${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }}$representando la intensidad del campo eléctrico disperso definida como

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }=-\mathrm {j} \omega {\boldsymbol {A}}-\nabla \varphi,}$

con${\displaystyle \mathrm {j} }$siendo una unidad imaginaria ,${\displaystyle \omega }$siendo frecuencia angular ,${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ser potencial vectorial

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\left({\boldsymbol {r}}\right)=\mu _{0}\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle \mu _{0}}$siendo permeabilidad al vacío ,${\displaystyle \varphi }$siendo potencial escalar

${\displaystyle \varphi \left({\boldsymbol {r}}\right)=-{\frac {1}{\mathrm {j} \omega \epsilon _{0}}}\int \limits _{\Omega }\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle \epsilon _{0}}$siendo la permitividad del vacío ,${\displaystyle G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)}$siendo la función escalar de Green

${\displaystyle G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} k\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}{4\pi \left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}}$

y${\displaystyle k}$siendo el número de onda . El operador integro-diferencial${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right)}$es la que se debe diagonalizar mediante modos característicos.

La ecuación que rige la descomposición CM es

${\displaystyle {\mathcal {X}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)=\lambda _{n}{\mathcal {R}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)\qquad \mathrm {(1)} }$

con${\displaystyle {\mathcal {R}}}$y${\displaystyle {\mathcal {X}}}$siendo las partes real e imaginaria del operador de impedancia, respectivamente:${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\cdot )={\mathcal {R}}(\cdot )+\mathrm {j} {\mathcal {X}}(\cdot )\,.}$El operador,${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$se define por

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {J}}\right)={\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right).\qquad \mathrm {(2)} }$

El resultado de (1) es un conjunto de modos característicos${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {J}}_{n}\right\}}$,${\displaystyle n\in \left\{1,2,\dots \right\}}$, acompañado de números característicos asociados${\displaystyle \left\{\lambda _{n}\right\}}$Claramente, (1) es un problema generalizado de valores propios , que, sin embargo, no puede resolverse analíticamente (excepto para algunos cuerpos canónicos ^{[ 11 ]} ). Por lo tanto, se suele emplear la solución numérica descrita en el siguiente párrafo.

Discretización${\displaystyle {\mathcal {D}}}$del cuerpo del dispersor${\displaystyle \Omega }$en${\displaystyle M}$subdominios como${\displaystyle \Omega ^{M}={\mathcal {D}}\left(\Omega \right)}$y utilizando un conjunto de funciones continuas por partes linealmente independientes${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\psi }}_{n}\right\}}$,${\displaystyle n\in \left\{1,\dots ,N\right\}}$permite la densidad de corriente${\displaystyle {\boldsymbol {J}}}$ser representado como

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}\right)\approx \sum \limits _{n=1}^{N}I_{n}{\boldsymbol {\psi }}_{n}\left({\boldsymbol {r}}\right)}$

y aplicando el método de Galerkin , el operador de impedancia (2)

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {R} +\mathrm {j} \mathbf {X} =\left[Z_{uv}\right]=\left[\,\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {\psi }}_{u}^{\ast }\cdot {\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {\psi }}_{v}\right)\,\mathrm {d} S\right].}$

El problema de valores propios (1) se reformula entonces en su forma matricial.

${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {I} _{n}=\lambda _{n}\mathbf {R} \mathbf {I} _{n},}$

que se puede resolver fácilmente utilizando, por ejemplo, la descomposición generalizada de Schur o el método de Arnoldi reiniciado implícitamente, que produce un conjunto finito de coeficientes de expansión.${\displaystyle \left\{\mathbf {I} _{n}\right\}}$y números característicos asociados${\displaystyle \left\{\lambda _{n}\right\}}$A continuación se investigan las propiedades de la descomposición CM.

Las propiedades de la descomposición CM se demuestran en su forma matricial.

Primero, recordemos que las formas bilineales

${\displaystyle P_{\mathrm {r} }\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} \geq 0}$

y

${\displaystyle 2\omega \left(W_{\mathrm {m} }-W_{\mathrm {e} }\right)\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} ,}$

donde el superíndice${\displaystyle ^{\mathrm {H} }}$denota la transpuesta hermitiana y donde${\displaystyle \mathbf {I} }$representa una distribución arbitraria de corriente superficial, que corresponde a la potencia radiada y a la potencia reactiva neta, ^{[ 12 ]} respectivamente. A continuación, se pueden destilar fácilmente las siguientes propiedades:

• La matriz de ponderación${\displaystyle \mathbf {R} }$es teóricamente definida positiva y${\displaystyle \mathbf {X} }$es indefinido. El cociente de Rayleigh

${\displaystyle \lambda _{n}\approx {\frac {\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} _{n}}{\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} _{n}}}}$

luego abarca el rango de${\displaystyle -\infty \leq \lambda _{n}\leq \infty }$e indica si el modo característico es capacitivo (${\displaystyle \lambda _{n}<0}$), inductivo (${\displaystyle \lambda _{n}>0}$), o en resonancia (${\displaystyle \lambda _{n}=0}$En realidad, el cociente de Rayleigh está limitado por la dinámica numérica de la precisión de la máquina utilizada y el número de modos encontrados correctamente es limitado.

• Los números característicos evolucionan con la frecuencia, es decir,${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda _{n}\left(\omega \right)}$, pueden cruzarse entre sí, o pueden ser iguales (en caso de degeneraciones ^{[ 13 ]} ). Por esta razón, el seguimiento de modos se aplica a menudo para obtener curvas suaves.${\displaystyle \lambda _{n}\left(\omega \right)}$. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} Desafortunadamente, este proceso es parcialmente heurístico y los algoritmos de seguimiento aún están lejos de ser perfectos. ^{[ 11 ]}
• Los modos característicos pueden elegirse como funciones de valor real,${\displaystyle \mathbf {I} _{n}\in \mathbb {R} ^{N\times 1}}$En otras palabras, los modos característicos forman un conjunto de corrientes equifásicas.
• La descomposición CM es invariante con respecto a la amplitud de los modos característicos. Este hecho se utiliza para normalizar la corriente de modo que irradien potencia radiada unitaria.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{m}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} \mathbf {I} _{n}\approx \left(1+\mathrm {j} \lambda _{n}\right)\delta _{mn}.}$

Esta última relación presenta la capacidad de los modos característicos para diagonalizar el operador de impedancia (2) y demuestra la ortogonalidad de campo lejano , es decir,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{\mu _{0}}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }{\boldsymbol {F}}_{m}^{\ast }\cdot {\boldsymbol {F}}_{n}\sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi =\delta _{mn}.}$

Las corrientes modales se pueden utilizar para evaluar los parámetros de la antena en su forma modal, por ejemplo:

• campo lejano modal${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}}}\right)}$(${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {e}}}}$ — polarización ,${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}}$ — dirección), ^{[ 3 ]}
• directividad modal${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}}}\right)}$,
• eficiencia de radiación modal${\displaystyle \eta _{n}}$, ^{[ 19 ]}
• factor de calidad modal${\displaystyle Q_{n}}$, ^{[ 20 ]}
• impedancia modal${\displaystyle Z_{n}}$.

Estas cantidades pueden utilizarse para análisis, síntesis de alimentación, optimización de la forma del radiador o caracterización de antenas.

El número de aplicaciones potenciales es enorme y sigue creciendo:

• análisis y síntesis de antenas, ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}
• diseño de antenas MIMO , ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}
• diseño de antena compacta ( RFID , Wi-Fi ), ^{[ 28 ] [ 29 ]}
• Antenas de UAV , ^{[ 30 ]}
• excitación selectiva de chasis y plataformas, ^{[ 31 ]}
• reducción del orden del modelo, ^{[ 32 ]}
• mejora del ancho de banda, ^{[ 33 ] [ 34 ]}
• nanotubos ^{[ 35 ]} y metamateriales, ^{[ 36 ] [ 37 ]}
• validación de códigos de electromagnetismo computacional . ^{[ 11 ]}

Los temas previstos incluyen:

• estructuras eléctricamente grandes calculadas usando MLFMA, ^{[ 38 ]}
• dieléctricos, ^{[ 7 ] [ 39 ]}
• uso de la ecuación integral de campo combinado , ^{[ 40 ]}
• estructuras periódicas,
• formulación para matrices. ^{[ 41 ]}

La descomposición CM se ha implementado recientemente en los principales simuladores electromagnéticos, concretamente en FEKO, ^{[ 42 ]} CST-MWS, ^{[ 43 ]} y WIPL-D. ^{[ 44 ]} Otros paquetes están a punto de admitirla, por ejemplo HFSS ^{[ 45 ]} y CEM One. ^{[ 46 ]} Además, existe una gran cantidad de paquetes propios y académicos capaces de evaluar CM y muchos parámetros asociados.

Los CM son útiles para comprender mejor el funcionamiento de los radiadores. Se han utilizado con gran éxito para muchos fines prácticos. Sin embargo, es importante destacar que no son perfectos y a menudo es mejor utilizar otras formulaciones, como los modos de energía, ^{[ 47 ]} los modos de radiación, ^{[ 47 ]} los modos de energía almacenada ^{[ 32 ]} o los modos de eficiencia de radiación. ^{[ 48 ]}