Teorema de Casey

En matemáticas , el teorema de Casey , también conocido como el teorema generalizado de Ptolomeo , es un teorema de geometría euclidiana que lleva el nombre del matemático irlandés John Casey . En Wasan , se dice que fue descubierto aproximadamente treinta años antes de la publicación de Casey ^{[ 1 ]} .

Dejar${\displaystyle \,O}$sea ​​un círculo de radio${\displaystyle \,R}$. Dejar${\ Displaystyle \, O_ {1}, O_ {2}, O_ {3}, O_ {4}}$sean (en ese orden) cuatro círculos que no se intersecan y que se encuentran dentro de${\displaystyle \,O}$y tangente a ella. Denotemos por${\displaystyle \,t_{ij}}$la longitud de la bitangente común exterior de los círculos${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$. Entonces: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}$

Nótese que, en el caso degenerado, donde los cuatro círculos se reducen a puntos, esto coincide exactamente con el teorema de Ptolomeo.

La siguiente demostración se atribuye ^{[ 3 ]} a Zacarías. ^{[ 4 ]} Denotemos el radio del círculo.${\displaystyle \,O_{i}}$por${\displaystyle \,R_{i}}$y su punto de tangencia con el círculo${\displaystyle \,O}$por${\displaystyle \,K_{i}}$Utilizaremos la notación${\displaystyle \,O,O_{i}}$para los centros de los círculos. Nótese que del teorema de Pitágoras ,

${\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.}$

Intentaremos expresar esta longitud en términos de puntos.${\displaystyle \,K_{i},K_{j}}$Por la ley de los cosenos en un triángulo${\displaystyle \,O_{i}OO_{j}}$,

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}}$

Dado que los círculos${\displaystyle \,O,O_{i}}$tangentes entre sí:

${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}$

Dejar${\displaystyle \,C}$ser un punto en el círculo${\displaystyle \,O}$Según la ley de los senos en un triángulo${\displaystyle \,K_{i}CK_{j}}$:

${\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}$

y sustituyendo estos valores en la fórmula anterior:

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

Y finalmente, la longitud que buscamos es

${\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}$

Ahora podemos evaluar el lado izquierdo, con la ayuda del teorema original de Ptolomeo aplicado al cuadrilátero inscrito.${\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}}$

Se puede observar que los cuatro círculos no tienen por qué estar dentro del círculo grande. De hecho, también pueden ser tangentes a él desde el exterior. En ese caso, se debe realizar el siguiente cambio: ^{[ 5 ]}

Si${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$son ambas tangentes desde el mismo lado de${\displaystyle \,O}$(ambos dentro o ambos fuera),${\displaystyle \,t_{ij}}$es la longitud de la tangente común exterior.

Si${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$son tangentes desde diferentes lados de${\displaystyle \,O}$(uno entra y uno sale),${\displaystyle \,t_{ij}}$es la longitud de la tangente común interior.

El recíproco del teorema de Casey también es cierto. ^{[ 5 ]} Es decir, si se cumple la igualdad, los círculos son tangentes a un círculo común.

El teorema de Casey y su recíproco pueden utilizarse para demostrar diversas afirmaciones en geometría euclidiana . Por ejemplo, la demostración más breve conocida ^{[ 2 ] : 411} del teorema de Feuerbach utiliza el teorema recíproco.

• Weisstein, Eric W. "El teorema de Casey" . MathWorld .
• Shailesh Shirali: "'Sobre un teorema de Ptolomeo generalizado'" . En: Crux Mathematicorum , vol. 22, núm. 2, págs. 49-53