Bitangent

En geometría , una bitangente a una curva C es una línea L que toca a C en dos puntos distintos P y Q y que tiene la misma dirección que C en esos puntos. Es decir, L es una línea tangente en P y en Q.

En general, una curva algebraica tendrá infinitas líneas secantes , pero solo un número finito de bitangantes.

El teorema de Bézout implica que una curva plana algebraica con una bitangente debe tener grado al menos 4. El caso de las 28 bitangantes de una curva cuártica fue una pieza de geometría célebre del siglo XIX, mostrándose una relación con las 27 líneas en la superficie cúbica .

Las cuatro bitangentes de dos polígonos convexos disjuntos se pueden encontrar eficientemente mediante un algoritmo basado en búsqueda binaria en el que se mantiene un puntero de búsqueda binaria en las listas de aristas de cada polígono y se mueve uno de los punteros a la izquierda o a la derecha en cada paso dependiendo de dónde se cruzan las líneas tangentes a las aristas en los dos punteros. Este cálculo de bitangente es una subrutina clave en estructuras de datos para mantener envolventes convexas dinámicamente ( Overmars y van Leeuwen 1981 ) . Pocchiola y Vegter ( 1996a , 1996b ) describen un algoritmo para listar eficientemente todos los segmentos de línea bitangentes que no cruzan ninguna de las otras curvas en un sistema de múltiples curvas convexas disjuntas, utilizando una técnica basada en pseudotriangulación . 

Los bitangentes pueden usarse para acelerar el enfoque del grafo de visibilidad para resolver el problema del camino euclidiano más corto : el camino más corto entre una colección de obstáculos poligonales solo puede entrar o salir del límite de un obstáculo a lo largo de uno de sus bitangentes, por lo que el camino más corto se puede encontrar aplicando el algoritmo de Dijkstra a un subgrafo del grafo de visibilidad formado por las aristas de visibilidad que se encuentran en líneas bitangentes ( Rohnert 1986 ) .

Una bitangente se diferencia de una recta secante en que esta última puede cruzar la curva en los dos puntos donde la interseca. También se pueden considerar bitangantes que no son rectas; por ejemplo, el conjunto de simetría de una curva es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la curva en dos puntos.

Las bitangentes a pares de círculos ocupan un lugar destacado en la construcción de los círculos de Malfatti realizada por Jakob Steiner en 1826 , en el problema de la correa para calcular la longitud de una correa que conecta dos poleas, en el teorema de Casey que caracteriza conjuntos de cuatro círculos con un círculo tangente común, y en el teorema de Monge sobre la colinealidad de los puntos de intersección de ciertas bitangentes.

• Overmars, MH ; van Leeuwen, J. (1981), "Mantenimiento de configuraciones en el plano", Journal of Computer and System Sciences , 23 (2): 166–204 , doi : 10.1016/0022-0000(81)90012-X , hdl : 1874/15899.
• Pocchiola, Michel; Vegter, Gert (1996a), "El complejo de visibilidad" , International Journal of Computational Geometry and Applications , 6 (3): 297–308 , doi : 10.1142/S0218195996000204 , Versión preliminar en Ninth ACM Symposium on Computational Geometry (1993) 328–337], archivado del original el 3 de diciembre de 2006 , recuperado el 12 de abril de 2007..
• Pocchiola, Michel; Vegter, Gert (1996b), "Complejos de visibilidad de barrido topológico mediante pseudotriangulaciones", Geometría discreta y computacional , 16 (4): 419– 453, doi : 10.1007/BF02712876 , hdl : 11370/2e90d580-a7e9-49aa-9433-35d1afb26106.
• Rohnert, H. (1986), "Shortest paths in the plane with convex polygonal obstacles", Information Processing Letters , 23 (2): 71– 76, doi : 10.1016/0020-0190(86)90045-1.