Conjetura de la función totiente de Carmichael

En matemáticas, la conjetura de la función totiente de Carmichael se refiere a la multiplicidad de valores de la función totiente de Euler.${\displaystyle \varphi (n)}$, que cuenta el número de enteros menores que y coprimos con${\displaystyle n}$. Afirma que, por cada${\displaystyle n}$Hay al menos otro número entero.${\displaystyle m\neq n}$de tal manera que${\displaystyle \varphi (m)=\varphi (n)}$Robert Carmichael formuló esta conjetura por primera vez en 1907, pero como un teorema y no como una conjetura. Sin embargo, su demostración fue errónea y, en 1922, se retractó de su afirmación y la planteó como un problema abierto .

La función totiente${\displaystyle \varphi (n)}$es igual a 2 cuando${\displaystyle n}$es uno de los tres valores 3, 4 y 6. Por lo tanto, si tomamos cualquiera de estos tres valores como${\displaystyle n}$, entonces cualquiera de los otros dos valores puede usarse como el${\displaystyle m}$para qué${\displaystyle \varphi (m)=\varphi (n)}$.

De manera similar, el totiente es igual a 4 cuando${\displaystyle n}$es uno de los cuatro valores 5, 8, 10 y 12, y es igual a 6 cuando${\displaystyle n}$es uno de los cuatro valores 7, 9, 14 y 18. En cada caso, hay más de un valor de${\displaystyle n}$tener el mismo valor de${\displaystyle \varphi (n)}$.

La conjetura afirma que este fenómeno de valores repetidos se cumple para cada${\displaystyle n}$.

Hay límites inferiores muy altos para la conjetura de Carmichael que son relativamente fáciles de determinar. El propio Carmichael demostró que cualquier contraejemplo a su conjetura (es decir, un valor${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle \varphi (n)}$es diferente de los totientes de todos los demás números) debe ser al menos 10 ³⁷ , y Victor Klee extendió este resultado a 10 ⁴⁰⁰ . Un límite inferior de${\displaystyle 10^{10^{7}}}$fue dado por Schlafly y Wagon , y un límite inferior de${\displaystyle 10^{10^{10}}}$fue determinado por Kevin Ford en 1998. ^{[ 1 ]}

La técnica computacional subyacente a estos límites inferiores depende de algunos resultados clave de Klee que permiten demostrar que el contraejemplo más pequeño debe ser divisible por los cuadrados de los primos que dividen su valor totiente. Los resultados de Klee implican que 8 y los primos de Fermat (primos de la forma${\displaystyle 2^{2^{k}}+1}$) excluyendo 3 no dividen el contraejemplo más pequeño. En consecuencia, probar la conjetura es equivalente a probar que la conjetura se cumple para todos los enteros congruentes con  4  (mod  8).

Ford también demostró que si existe un contraejemplo a la conjetura, entonces una proporción positiva (en el sentido de densidad asintótica) de los enteros son igualmente contraejemplos. ^{[ 1 ]}

Aunque la conjetura es ampliamente aceptada, Carl Pomerance dio una condición suficiente para un entero${\displaystyle n}$ser un contraejemplo a la conjetura ( Pomerance 1974 ) . Según esta condición,${\displaystyle n}$es un contraejemplo si para cada primo${\displaystyle p}$de tal manera que${\displaystyle p-1}$divide${\displaystyle \varphi (n)}$,${\displaystyle p^{2}}$divide${\displaystyle n}$Sin embargo , Pomerance demostró que la existencia de tal número entero es altamente improbable. Esencialmente, se puede demostrar que si el primero${\displaystyle k}$primos${\displaystyle p}$congruente con  1  (mod ${\displaystyle q}$) (dónde${\displaystyle q}$es un número primo) son todos menores que${\displaystyle q^{k+1}}$Si dicho número entero fuera divisible por cualquier número primo, no podría existir. En cualquier caso, demostrar que el contraejemplo de Pomerance no existe dista mucho de demostrar la conjetura de Carmichael. Sin embargo, si existiera, entonces existirían infinitos contraejemplos, como afirmó Ford.

Otra forma de enunciar la conjetura de Carmichael es que, si ${\displaystyle A(f)}$denota el número de enteros positivos${\displaystyle n}$para qué${\displaystyle \varphi (n)=f}$, entonces${\displaystyle A(f)}$nunca puede ser igual  a 1. De manera similar, Wacław Sierpiński conjeturó que todo entero positivo distinto de 1 aparece como un valor de${\displaystyle A(f)}$, una conjetura que fue demostrada en 1999 por Kevin Ford. ^{[ 2 ]}

• Carmichael, RD (1907), "Sobre Euler${\displaystyle \varphi }$-función", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 13 (5): 241– 243, doi : 10.1090/S0002-9904-1907-01453-2 , MR 1558451 .
• Carmichael, RD (1922), "Nota sobre Euler${\displaystyle \varphi }$-función", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 28 (3): 109– 110, doi : 10.1090/S0002-9904-1922-03504-5 , MR 1560520 .
• Ford, K. (1999), "El número de soluciones de${\displaystyle \varphi (x)=m}$", Anales de Matemáticas , 150 (1): 283– 311, doi : 10.2307/121103 , JSTOR 121103 , MR 1715326 , Zbl 0978.11053   .
• Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª  ed.), Springer-Verlag , B39, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl 1058.11001 .
• Klee, VL Jr. (1947), "Sobre una conjetura de Carmichael", Bulletin of the American Mathematical Society , 53 (12): 1183– 1186, doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08940-0 , MR 0022855 , Zbl 0035.02601  .
• Pomerance, Carl (1974), "Sobre la conjetura de Carmichael" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática Americana , 43 (2): 297–298 , doi : 10.2307/2038881 , JSTOR 2038881 , Zbl 0254.10009  .
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Manual de teoría de números II , Dordrecht: Kluwer Academic, págs. 228-229 , ISBN  978-1-4020-2546-4, Zbl 1079.11001 .
• Schlafly, A.; Wagon, S. (1994), "La conjetura de Carmichael sobre la función de Euler es válida por debajo de 10 ^10,000,000 ", Mathematics of Computation , 63 (207): 415– 419, doi : 10.2307/2153585 , JSTOR 2153585 , MR 1226815 , Zbl 0801.11001   .

• Weisstein, Eric W. , "Conjetura de la función totiente de Carmichael" , MathWorld