Puente capilar

Un puente capilar es una superficie minimizada de líquido o membrana creada entre dos cuerpos rígidos de forma arbitraria. Los puentes capilares también pueden formarse entre dos líquidos. ^{[ 1 ]} Plateau definió una secuencia de formas capilares ^{[ 2 ]} conocidas como (1) nodoide con 'cuello', (2) catenoide , (3) unduloid con 'cuello', (4) cilindro , (5) unduloid con 'mandíbula', (6) esfera y (7) nodoide con 'mandíbula' . La presencia de puentes capilares, según sus formas, puede conducir a la atracción o repulsión entre los cuerpos sólidos. Los casos más simples son los axisimétricos. Distinguimos tres clases importantes de puentes, según las formas de la superficie de los cuerpos conectados:

• dos superficies planas (fig. 1)

• superficie plana y partícula esférica (fig. 2)

• dos partículas esféricas (en general, las partículas pueden no ser de igual tamaño, fig. 3)

Los puentes capilares y sus propiedades también pueden verse influenciados por la gravedad terrestre y por las propiedades de las superficies que los unen. La sustancia que los une puede ser un líquido o un gas. El límite que los rodea se denomina interfaz ( superficie capilar ). La interfaz se caracteriza por una tensión superficial particular .

Los puentes capilares se han estudiado durante más de 200 años. La cuestión fue planteada por primera vez por Josef Louis Lagrange en 1760, y el interés se extendió aún más gracias al astrónomo y matemático francés C. Delaunay . ^{[ 3 ]} Delaunay descubrió una clase completamente nueva de superficies axialmente simétricas de curvatura media constante . La formulación y la demostración de su teorema tuvieron una larga historia. Comenzó con la proposición de Euler ^{[ 4 ]} de una nueva figura, llamada catenoide . (Mucho más tarde, Kenmotsu ^{[ 5 ]} resolvió las complejas ecuaciones no lineales que describen esta clase de superficies. Sin embargo, su solución tiene poca importancia práctica porque no tiene interpretación geométrica). J. Plateau demostró la existencia de tales formas con límites dados. El problema recibió su nombre: el problema de Plateau . ^{[ 6 ]} Muchos científicos contribuyeron a la solución del problema. Uno de ellos es Thomas Young. ^{[ 7 ]} Pierre Simon Laplace aportó la noción de tensión capilar. Laplace incluso formuló la condición ampliamente conocida hoy en día para el equilibrio mecánico entre dos fluidos, divididos por una superficie capilar P _γ =Δ P ie la presión capilar entre dos fases se equilibra por su diferencia de presión adyacente. Myshkis y Babskii completaron un estudio general sobre el comportamiento del puente capilar en el campo gravitatorio. ^{[ 8 ]} En el siglo pasado se hicieron muchos esfuerzos para estudiar las fuerzas superficiales que impulsan los efectos capilares del puente. Se estableció que estas fuerzas resultan de las fuerzas intermoleculares y se vuelven significativas en espacios de fluido delgados (<10  nm) entre dos superficies. ^{[ 9 ] [ 10 ]} La inestabilidad de los puentes capilares fue discutida por primera vez por Rayleigh . ^{[ 11 ]} Demostró que un chorro líquido o superficie cilíndrica capilar se volvía inestable cuando la relación entre su longitud, H y el radio R , se vuelve mayor que 2π. En estas condiciones de pequeñas perturbaciones sinusoidales con longitud de onda mayor que su perímetro, el área de la superficie del cilindro se vuelve mayor que la de un cilindro no perturbado con el mismo volumen y, por lo tanto, se vuelve inestable. Más tarde, Hove ^{[ 12 ]}formuló los requisitos variacionales para la estabilidad de superficies capilares axisimétricas (no acotadas) en ausencia de gravedad y con perturbaciones restringidas a volumen constante. Primero resolvió la ecuación de Young-Laplace para formas de equilibrio y demostró que la condición de Legendre para la segunda variación siempre se satisface. Por lo tanto, la estabilidad está determinada por la ausencia de autovalor negativo de la ecuación linealizada de Young-Laplace. Este enfoque de determinar la estabilidad a partir de la segunda variación se utiliza ahora ampliamente. ^{[ 8 ]} Los métodos de perturbación tuvieron mucho éxito a pesar de que la naturaleza no lineal de la interacción capilar puede limitar su aplicación. Otros métodos ahora incluyen la simulación directa. ^{[ 13 ] [ 14 ]} Hasta ese momento, la mayoría de los métodos para la determinación de la estabilidad requerían el cálculo del equilibrio como base para las perturbaciones. Surgió una nueva idea de que la estabilidad puede deducirse de los estados de equilibrio. ^{[ 15 ] [ 16 ]} La proposición fue demostrada posteriormente por Pitts ^{[ 17 ]} para volumen constante axisimétrico. En los años siguientes, Vogel ^{[ 18 ] [ 19 ]} extendió la teoría. Examinó el caso de puentes capilares axisimétricos con volúmenes constantes y los cambios de estabilidad corresponden a puntos de inflexión. El reciente desarrollo de la teoría de bifurcación demostró que el intercambio de estabilidad entre puntos de inflexión y puntos de ramificación es un fenómeno general. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Estudios recientes indicaron que los antiguos egipcios utilizaban las propiedades de la arena para crear puentes capilares mediante el uso de agua sobre ella. ^{[ 22 ]} De esta manera, reducían la fricción superficial y podían mover estatuas y pesadas piedras de las pirámides. Algunas artes contemporáneas, como el arte con arena , también están estrechamente relacionadas con la capacidad del agua para formar puentes entre partículas. En la microscopía de fuerza atómica , cuando se trabaja en un entorno de alta humedad, los estudios pueden verse afectados por la aparición de puentes capilares de tamaño nanométrico. ^{[ 23 ]} Estos puentes aparecen cuando la punta de trabajo se acerca a la muestra estudiada. Los puentes capilares también desempeñan un papel importante en el proceso de soldadura . ^{[ 24 ]}

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  Esquema de la tumba de Djehutihotep que representa el transporte de una estatua colosal.
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  AFM
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  Soldadura
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  Rana arborícola de labios blancos

Los puentes capilares también se encuentran ampliamente distribuidos en la naturaleza. Insectos, moscas, saltamontes y ranas arborícolas pueden adherirse a superficies verticales rugosas gracias a su capacidad de inyectar líquido humectante en el área de contacto entre la almohadilla y el sustrato. De esta manera, se crea una interacción atractiva de largo alcance debido a la formación de puentes capilares. ^{[ 25 ]} Muchos problemas médicos relacionados con enfermedades respiratorias y la salud de las articulaciones dependen de diminutos puentes capilares. ^{[ 26 ]} Los puentes líquidos se utilizan actualmente con frecuencia en el cultivo de células debido a la necesidad de imitar el funcionamiento de los tejidos vivos en la investigación científica. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

La solución general para el perfil del capilar se conoce a partir de la consideración de la curvatura unduloidal o noduloidal . ^{[ 29 ]} Supongamos el siguiente sistema de coordenadas cilíndricas : z muestra el eje de revolución; r representa la coordenada radial y φ es el ángulo entre la normal y el eje z positivo . El nodoide tiene tangentes verticales en r = r ₁ y r = r ₂ y tangente horizontal en r = r ₃ . Cuando φ es el ángulo entre la normal a la interfaz y el eje z positivo, entonces φ es igual a 90°, 0°, -90° para el nodoide.

La ecuación de Young-Laplace puede escribirse en una forma conveniente para la integración en caso de simetría axial  :

donde R ₁ , R ₂ son los radios de curvatura y γ es la tensión superficial interfacial. La integración de la ecuación se denomina primera integral y produce:

Desde:

Se encuentra lo siguiente:

Tras la integración, la ecuación obtenida se denomina segunda integral :

donde: F y E son integrales elípticas de primera y segunda especie,${\textstyle k^{2}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}}}$y φ está relacionado con r según

${\displaystyle \sin ^{2}\phi ={\frac {r^{2}-r_{2}^{2}}{k^{2}r^{2}}}}$.

El unduloides tiene tangentes verticales únicamente en r = r ₁ y r = r ₂ , donde φ = + 90. De manera completamente análoga:

Se obtiene la segunda integral para el unduloide:

donde la relación entre los parámetros k y φ se define de la misma manera que arriba. En el caso límite r ₁ =0, tanto el nodoide como el unduloid consisten en una serie de esferas. Cuando r ₁ = r ₂ . El último y muy interesante caso límite es el catenoide . La ecuación de Laplace se reduce a:

Su integración puede representarse de una forma muy conveniente, en un sistema de coordenadas cilíndricas, llamada ecuación de catenaria : ^{[ 29 ]}

La ecuación (9) es importante porque muestra de forma simplificada todos los problemas relacionados con los puentes capilares, de manera transparente. El dibujo en coordenadas adimensionales muestra un máximo que distingue dos ramas. Una de ellas es energéticamente favorable y surge en estática , mientras que la otra (en línea discontinua) no es energéticamente favorable. El máximo es importante porque cuando se estira el puente capilar en cuasi-equilibrio, si se alcanza el máximo, se produce la rotura. Los catenoides con dimensiones energéticamente desfavorables pueden formarse durante el proceso de estiramiento/compresión dinámico. ^{[ 30 ]} La presión capilar cero C =0 es natural para el catenoide clásico (superficie de jabón capilar estirada entre dos anillos coaxiales). Cuando el puente capilar típico llega al estado catenoide de C = 0, a pesar de que sus propiedades superficiales son las mismas que las del catenoide clásico, es más apropiado presentarlo escalado por la raíz cúbica de su volumen en lugar del radio, R .

La solución de la segunda integral es diferente en los casos de puentes capilares oblados (nodoides y unduloides):

donde: F y E son nuevamente integrales elípticas de primera y segunda especie,${\textstyle k^{2}={\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}}}$y φ está relacionado con r según:${\textstyle \sin ^{2}\phi ={\frac {r_{2}^{2}-r^{2}}{k^{2}r_{2}^{2}}}}$Es importante destacar que todas las curvas descritas se obtienen al hacer rodar una sección cónica sin deslizamiento a lo largo del eje z . El unduloides se describe mediante el foco de una elipse rodante, que puede degenerar en una línea, una esfera o una parábola, dando lugar a los casos límite correspondientes. De manera similar, un nodoide se describe mediante el foco de una hipérbola rodante.

En la tabla 11.1 del libro de Kralchevsky y Nagayama se ofrece un resumen bien sistematizado de las formas de los puentes capilares. ^{[ 2 ]}

El equilibrio mecánico comprende el balance de presión en la interfaz líquido/gas y la fuerza externa sobre las placas, Δ P , que equilibra la atracción o repulsión capilar,${\displaystyle P_{\gamma }}$, es decir${\displaystyle \Delta P=P_{\gamma }}$Si se desprecian los efectos de la gravedad y otros campos externos, el equilibrio de presiones es Δ P = P _i - P _e (los índices "i" y "e" denotan respectivamente las presiones interna y externa). En caso de simetría axial, la ecuación para la presión capilar toma la forma:

donde γ es la tensión interfacial líquido/gas; r es la coordenada radial y φ es el ángulo entre el eje de simetría y la normal a la generatriz de la interfaz. La primera integral se obtiene fácilmente con respecto a la presión capilar adimensional en el contacto con la superficie:

dónde${\textstyle C=P_{\gamma }{\frac {r_{m}}{2\gamma }}}$, el radio adimensional en el contacto es${\textstyle X={\frac {R}{r_{m}}}}$y θ es el ángulo de contacto . La relación muestra que la presión capilar puede ser positiva o negativa. La forma de los puentes capilares se rige por la ecuación: ^{[ 2 ]}

donde la ecuación se obtiene después de la sustitución ${\textstyle \sin \phi ={\frac {dy}{dx}}\cos \phi }$se realiza en la ecuación ( 11 ) y escalado${\textstyle x={\frac {r}{r_{m}}}}$se introduce.

puente líquido delgado

A diferencia de los casos con altura creciente de puentes capilares, que presentan una variedad de formas de perfil, el aplanamiento (adelgazamiento) hacia espesor cero tiene un carácter mucho más universal. La universalidad aparece cuando H << R (fig. 1). La ecuación (11) puede escribirse como: ^{[ 31 ]}

La generatriz converge a la ecuación:

Tras la integración, la ecuación resulta en:

Los radios circulares adimensionales 1/2C coinciden con los radios de curvatura del puente capilar. El signo positivo '+' representa el perfil de la generatriz del puente cóncavo y el negativo '-', el de un puente oblado. Para los puentes capilares convexos, la generatriz circular se mantiene hasta que se alcanza el límite del dominio de definición durante el estiramiento. Cerca del inicio de la cinética de ruptura autoinducida, el perfil del puente evoluciona consecuentemente hacia una elipse, una parábola y posiblemente una hipérbola. ^{[ 32 ]}

Dominio de definición

Las observaciones presentadas en la figura 5 indican que se puede definir un dominio de existencia de puentes capilares. Por lo tanto, si se estira un puente líquido, este podría dejar de existir no solo por el aumento de inestabilidades, sino también porque alcanza ciertos puntos en los que la forma ya no puede existir. La estimación del dominio de definición requiere la manipulación de ecuaciones integradas para la altura y el volumen del puente capilar. Ambas son integrables, pero las integrales son impropias. El método aplicado incluye la división de las integrales en dos partes: singular pero integrable analíticamente y regular pero integrable solo numéricamente. Después de la integración, se obtiene la altura del puente capilar ^{[ 31 ].}

De manera similar, para el radio de contacto R , se obtiene la ecuación integrada ^{[ 31 ].}

dónde${\displaystyle \beta \left(C\right)=\left[1-{\frac {\left(1-2C\right)}{2C^{2}}}\right]}$y${\displaystyle \alpha \left(C,X\right)={\frac {1}{2C}}\arcsin \left[\beta \left(C\right)-X^{2}{\frac {2C^{2}}{1-2C}}\right]}$

En la figura 6 se muestra el número de estados estáticos estables del puente capilar líquido, representados por dos parámetros característicos: (i) la altura adimensional, que se obtiene escalando la altura del puente capilar por la raíz cúbica de su volumen, ecuación ( 16 ), y (ii) su radio, también escalado por la raíz cúbica del volumen, ecuación ( 17 ). Las soluciones parcialmente analíticas, obtenidas para estos dos parámetros, se presentan más arriba. Las soluciones difieren en cierto modo del enfoque de Plateau, ampliamente aceptado [mediante funciones elípticas, ecuación ( 7 )], porque ofrecen un método numérico conveniente para la integración de integrales regulares, mientras que la parte irregular de la ecuación se integró analíticamente. Estas soluciones se convirtieron además en la base para la predicción del estiramiento y la rotura en cuasiequilibrio de los puentes capilares para ángulos de contacto inferiores a 45°.${\textstyle \left(0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{4}}\right)}$. La implementación práctica permite identificar no solo el final del dominio de definición sino también el comportamiento exacto durante el estiramiento del puente capilar, ^{[ 32 ]} porque en coordenadas${\textstyle {\frac {H}{r_{m}}}\sim \ln \left({\frac {R}{r_{m}}}\right)}$El estiramiento forma una línea inclinada, donde el ángulo de inclinación es proporcional al ángulo de contacto.

Puente capilar cóncavo

El caso del puente capilar cóncavo se presenta mediante isogonas para ángulos de contacto inferiores a${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$en la figura 6, ${\textstyle \left(0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}\right)}$Las isogonas muestran un máximo bien definido${\textstyle {\frac {dH^{*}}{dR^{*}}}\equiv {\frac {dH}{dR}}=0}$Este máximo se indica con un punto para cada isogona. De nuevo, al igual que un catenoide simple, separa dos ramas. La rama izquierda es energéticamente favorable, mientras que la derecha es energéticamente desfavorable.

Puente capilar cilíndrico

Este caso es bien analizado por Rayleigh. Nótese que el dominio de definición en su caso no muestra limitaciones y se extiende hasta el infinito, fig. 6,${\textstyle \left(\theta ={\frac {\pi }{2}}\right)}$Sin embargo, la rotura de puentes capilares cilíndricos se observa habitualmente. Ocurre como resultado de una inestabilidad bien estudiada conocida como inestabilidad de Rayleigh . ^{[ 11 ]} El dominio de definición para la isogona de 90° se muestra en la figura 6 mediante una línea discontinua.

Puente capilar convexo

El caso de puentes capilares convexos se presenta en la figura 6,${\textstyle \left({\frac {\pi }{2}}<\theta \leq \pi \right)}$izquierda del dominio del caso cilíndrico.

Las formas de equilibrio y los límites de estabilidad para los puentes líquidos capilares son objeto de numerosos estudios teóricos y experimentales. ^{[ 33 ]} Los estudios se centran principalmente en la investigación de puentes entre discos iguales bajo condiciones gravitacionales. Es bien sabido que para cada valor del número de Bond , definido como ^{[ 34 ]}${\textstyle {\rm {Bo}}={\frac {\rho gR^{2}}{\gamma }}}$(donde: g es la aceleración gravitatoria terrestre, γ es la tensión superficial y R es el radio del contacto) el diagrama de estabilidad puede representarse mediante una única curva cerrada por tramos en el plano de esbeltez/volumen adimensional. La esbeltez se define como${\textstyle {\frac {H}{2R}}}$y el volumen adimensional es el volumen del puente capilar dividido por el volumen del cilindro con la misma altura, H y radio R :${\textstyle {\frac {V}{\pi R^{2}H}}}$.

Si tanto la esbeltez como el volumen de líquido son suficientemente pequeños, los límites de estabilidad están determinados por el desprendimiento de la forma líquida de los bordes de los discos (línea de contacto trifásica), línea AB en la figura 7. La línea BC representa el volumen mínimo que corresponde a la rotura axisimétrica. Se conoce en la literatura como límite de estabilidad de volumen mínimo . La curva CA representa otro límite de estabilidad, que caracteriza el volumen máximo. Es el límite superior de la región de estabilidad. También existe una región de transición entre la estabilidad de volumen mínimo y máximo. Aún no está claramente definida y, por lo tanto, se indica con una línea discontinua en la figura 7.

• Número de Eötvös
• Condensación capilar