El problema de la bala de cañón

En las matemáticas de los números figurados , el problema de las balas de cañón plantea qué números son a la vez cuadrados y piramidales cuadrados . El problema se puede formular así: dada una disposición cuadrada de balas de cañón, ¿para qué tamaños de cuadrados se pueden disponer estas balas de cañón en una pirámide cuadrada? De forma equivalente, ¿qué cuadrados se pueden representar como la suma de cuadrados consecutivos, comenzando desde 1?

Cuando se apilan balas de cañón dentro de un marco cuadrado, el número de balas es un número piramidal cuadrado; Thomas Harriot dio una fórmula para este número alrededor de 1587, respondiendo a una pregunta que le planteó Sir Walter Raleigh durante su expedición a América. ^{[ 1 ]} Édouard Lucas formuló el problema de las balas de cañón como una ecuación diofántica.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)={\frac {2N^{3}+3N^{2}+N}{6}}=M^{2}.}$

Lucas conjeturó que las únicas soluciones son ( N , M ) = (0,0) , (1,1) y (24,70) , utilizando 0, 1 o 4900 balas de cañón. No fue hasta 1918 que G. N. Watson encontró una demostración de este hecho, utilizando funciones elípticas . Más recientemente, se han publicado demostraciones elementales . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La solución N = 24, M = 70 puede utilizarse para construir la red de Leech . El resultado tiene relevancia para la teoría de cuerdas bosónicas en 26 dimensiones. ^{[ 4 ]}

Si bien es posible recubrir un cuadrado geométrico con cuadrados de tamaño desigual , no es posible hacerlo con una solución al problema de la bala de cañón. Los cuadrados con lados de longitud entre 1 y 24 tienen áreas iguales a las del cuadrado con lado de longitud 70, pero no se pueden disponer para recubrirlo.

Una versión de pirámide triangular del problema de la bala de cañón, que consiste en obtener un cuadrado perfecto a partir del N ^-ésimo número tetraédrico , tendría N = 48. Esto significa que el (24 × 2 = ) 48.º número tetraédrico es igual a (70 ² × 2 ² = 140 ² = ) 19600. Esto es comparable con la 24.ª pirámide cuadrada que tiene un total de 70 ² balas de cañón. ^{[ 5 ]} Esto se debe a que un número piramidal cuadrado es un cuarto de un número tetraédrico mayor (lo que significa que los puntos de cuatro copias de la misma pirámide cuadrada se pueden reorganizar para formar un solo tetraedro con el doble de puntos a lo largo de cada arista). ^{[ 6 ]}

De manera similar, una versión de pirámide pentagonal del problema de las balas de cañón para producir un cuadrado perfecto tendría N = 8, lo que daría como resultado un total de (14 × 14 = ) 196 balas de cañón. ^{[ 7 ]}

Los únicos números que son simultáneamente triangulares y piramidales cuadrados son 1, 55, 91 y 208335. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

No hay números (aparte de la solución trivial 1) que sean a la vez tetraédricos y piramidales cuadrados. ^{[ 9 ]}

• Número cuadrado triangular , los números que son simultáneamente cuadrados y triangulares.
• Empaquetamiento compacto de esferas iguales

• Weisstein, Eric W. "Problema de la bala de cañón" . MathWorld .