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Efecto mariposa

Demostración experimental del efecto mariposa con seis grabaciones del mismo péndulo doble . En cada grabación, el péndulo parte de prácticamente las mismas condiciones iniciale...

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Demostración experimental del efecto mariposa con seis grabaciones del mismo péndulo doble . En cada grabación, el péndulo parte de prácticamente las mismas condiciones iniciales. Con el tiempo, las diferencias en la dinámica aumentan, pasando de ser casi imperceptibles a drásticas.

En la teoría del caos , el efecto mariposa es la dependencia sensible de las condiciones iniciales en la que un pequeño cambio en un estado de un sistema no lineal determinista puede dar lugar a grandes diferencias en un estado posterior.

El término está estrechamente relacionado con la obra del matemático y meteorólogo Edward Norton Lorenz . Él observó que el efecto mariposa se deriva del ejemplo de cómo los detalles de un tornado (el momento exacto de su formación, la trayectoria exacta) se ven influenciados por pequeñas perturbaciones, como el aleteo de una mariposa lejana varias semanas antes. Lorenz utilizó originalmente una gaviota que provocaba una tormenta, pero en 1972 lo convenció de hacerlo más poético con el uso de una mariposa y un tornado. [ 1 ] [ 2 ] Descubrió el efecto al observar simulaciones de su modelo meteorológico con datos de condiciones iniciales que se redondeaban de una manera aparentemente insignificante. Observó que el modelo meteorológico no lograba reproducir los resultados de las simulaciones con los datos de condiciones iniciales sin redondear. Un cambio muy pequeño en las condiciones iniciales había creado un resultado significativamente diferente. [ 3 ]

La idea de que pequeñas causas pueden tener grandes efectos en el clima fue reconocida previamente por el matemático y físico francés Henri Poincaré . El matemático y filósofo estadounidense Norbert Wiener también contribuyó a esta teoría. El trabajo de Lorenz estableció una base cuantitativa para el concepto de inestabilidad de la atmósfera terrestre y lo vinculó con las propiedades de amplias clases de sistemas dinámicos que experimentan dinámicas no lineales y caos determinista . [ 4 ]

Desde entonces, el concepto del efecto mariposa se ha utilizado fuera del contexto de la meteorología como un término amplio para cualquier situación en la que se supone que un pequeño cambio es la causa de consecuencias mayores.

Historia

En La vocación del hombre (1800), Johann Gottlieb Fichte dice: "No se podría quitar un solo grano de arena de su lugar sin... cambiar algo en todas las partes del todo inconmensurable".

La teoría del caos y la dependencia sensible de las condiciones iniciales se han descrito en numerosas obras. Esto se evidencia en el caso del problema de los tres cuerpos planteado por Poincaré en 1890. [ 5 ] Posteriormente, propuso que tales fenómenos podrían ser comunes, por ejemplo, en meteorología. [ 6 ]

En 1898, Jacques Hadamard observó una divergencia general de las trayectorias en espacios de curvatura negativa. Pierre Duhem analizó la posible importancia general de este fenómeno en 1908. [ 5 ]

En 1950, Alan Turing señaló: "El desplazamiento de un solo electrón por una milmillonésima de centímetro en un instante podría marcar la diferencia entre que un hombre muera en una avalancha un año después o que escape". [ 7 ]

La idea de que la muerte de una mariposa pudiera tener un efecto dominó de gran alcance en eventos históricos posteriores apareció por primera vez en " El sonido del trueno ", un cuento de Ray Bradbury de 1952 en el que un viajero del tiempo altera el futuro al pisar inadvertidamente una mariposa en el pasado. [ 8 ]

Más precisamente, sin embargo, casi la misma idea y la misma formulación —de que el ala de un pequeño insecto afecta a los vientos de toda la atmósfera— se publicó en un libro infantil que se convirtió en un gran éxito y fue muy conocido a nivel mundial en 1962, el año anterior a que Lorenz publicara:

«...todo lo que hacemos afecta a todo y a todos los demás, aunque sea mínimamente. Cuando una mosca aletea, se forma una brisa que recorre el mundo.» — La Princesa de la Razón Pura

— Norton Juster, El peaje fantasma

En 1961, Lorenz estaba ejecutando un modelo numérico por computadora para rehacer una predicción meteorológica de la mitad de la ejecución anterior como atajo. Ingresó la condición inicial 0.506 de la impresión en lugar de ingresar el valor de precisión completa 0.506127. El resultado fue un escenario meteorológico completamente diferente. [ 9 ]

Lorenz escribió:

En un momento dado, decidí repetir algunos de los cálculos para examinar con mayor detalle lo que sucedía. Apagué el ordenador, introduje una línea de números que había impreso un rato antes y lo volví a encender. Fui a tomar un café y regresé después de una hora, durante la cual el ordenador había simulado unos dos meses de clima. Los números que se imprimían no se parecían en nada a los anteriores. Inmediatamente sospeché de un tubo de vacío defectuoso o algún otro problema informático, algo bastante común, pero antes de llamar al servicio técnico decidí averiguar dónde se había producido el error, sabiendo que esto podría agilizar el proceso. En lugar de una interrupción repentina, descubrí que los nuevos valores al principio repetían los antiguos, pero poco después diferían en una y luego en varias unidades en la última posición decimal, y luego empezaron a diferir en la penúltima posición y después en la anterior. De hecho, las diferencias se duplicaban de forma más o menos constante cada cuatro días aproximadamente, hasta que toda semejanza con el resultado original desapareció en algún momento del segundo mes. Esto bastó para darme cuenta de lo sucedido: los números que había introducido no eran los originales exactos, sino los valores redondeados que aparecían en la impresión original. Los errores iniciales de redondeo fueron los culpables; se fueron incrementando progresivamente hasta dominar la solución.

— EN Lorenz, La esencia del caos , University of Washington Press, Seattle (1993), página 134 [ 10 ]

En 1963, Lorenz publicó un estudio teórico de este efecto en un artículo fundamental y muy citado titulado Flujo no periódico determinista [ 3 ] [ 11 ] (los cálculos se realizaron en una computadora Royal McBee LGP-30 ). [ 12 ] [ 13 ] En otro lugar afirmó:

Un meteorólogo comentó que, si la teoría fuera correcta, un solo aleteo de una gaviota bastaría para alterar el curso del clima para siempre. La controversia aún no se ha resuelto, pero la evidencia más reciente parece favorecer a las gaviotas. [ 13 ]

Una mariposa Battus polydamas en Brasil

Siguiendo las propuestas de sus colegas, en discursos y artículos posteriores, Lorenz empleó la más poética mariposa . Según Lorenz, cuando no logró encontrar un título para una ponencia que iba a presentar en la 139.ª reunión de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia en 1972, Philip Merilees ideó «¿El aleteo de una mariposa en Brasil provoca un tornado en Texas?» como título. [ 1 ] Si bien el aleteo de una mariposa se ha mantenido constante en la expresión de este concepto, la ubicación de la mariposa, las consecuencias y la ubicación de estas han variado ampliamente. [ 14 ]

La frase alude al efecto que producen las alas de una mariposa, generando pequeños cambios en la atmósfera que pueden alterar la trayectoria de un tornado o retrasar, acelerar o incluso prevenir su formación en otro lugar. La mariposa no genera ni crea directamente el tornado, pero el término implica que el aleteo puede provocarlo : en el sentido de que forma parte de las condiciones iniciales de una compleja red interconectada; un conjunto de condiciones da lugar a un tornado, mientras que otro no. El aleteo produce un pequeño cambio en la condición inicial del sistema, que desencadena alteraciones a gran escala (compárese con el efecto dominó ). Si la mariposa no hubiera aleteado, la trayectoria del sistema podría haber sido muy diferente; pero también es igualmente posible que el conjunto de condiciones sin el aleteo de la mariposa sea el que dé lugar a un tornado.

El efecto mariposa plantea un desafío evidente para la predicción, ya que las condiciones iniciales de un sistema como el clima nunca pueden conocerse con total precisión. Este problema motivó el desarrollo de la predicción por conjuntos , en la que se realizan varias predicciones a partir de condiciones iniciales perturbadas. [ 15 ]

Algunos científicos han argumentado desde entonces que el sistema meteorológico no es tan sensible a las condiciones iniciales como se creía anteriormente. [ 16 ] David Orrell argumenta que el principal contribuyente al error de pronóstico meteorológico es el error del modelo, y que la sensibilidad a las condiciones iniciales juega un papel relativamente pequeño. [ 17 ] [ 18 ] Stephen Wolfram también señala que las ecuaciones de Lorenz están muy simplificadas y no contienen términos que representen efectos viscosos; cree que estos términos tenderían a amortiguar pequeñas perturbaciones. [ 19 ] Estudios recientes que utilizan modelos de Lorenz generalizados que incluyen términos disipativos adicionales y no linealidad sugieren que se requiere un parámetro de calentamiento mayor para el inicio del caos. [ 20 ]

Si bien el «efecto mariposa» se suele explicar como sinónimo de dependencia sensible de las condiciones iniciales, del tipo descrito por Lorenz en su artículo de 1963 (y observado previamente por Poincaré), la metáfora de la mariposa se aplicó originalmente [ 1 ] a un trabajo que publicó en 1969 [ 21 ] , el cual llevó la idea un paso más allá. Lorenz propuso un modelo matemático para explicar cómo los pequeños movimientos en la atmósfera se amplifican y afectan a sistemas más grandes. Descubrió que los sistemas de ese modelo solo podían predecirse hasta un punto específico en el futuro, y que, más allá de ese punto, reducir el error en las condiciones iniciales no aumentaría la predictibilidad (siempre que el error no sea cero). Esto demostró que un sistema determinista podía ser «observacionalmente indistinguible» de uno no determinista en términos de predictibilidad. Reexámenes recientes de este artículo sugieren que planteó un desafío significativo a la idea de que nuestro universo es determinista, comparable a los desafíos que plantea la física cuántica. [ 22 ] [ 23 ]

En el libro titulado La esencia del caos, publicado en 1993, [ 24 ] Lorenz definió el efecto mariposa como: «El fenómeno por el cual una pequeña alteración en el estado de un sistema dinámico provoca que los estados subsiguientes difieran enormemente de los estados que habrían seguido sin dicha alteración». Esta característica es la misma que la dependencia sensible de las soluciones respecto de las condiciones iniciales (SDIC) en . [ 3 ] En el mismo libro, Lorenz aplicó la actividad del esquí y desarrolló un modelo idealizado de esquí para revelar la sensibilidad de las trayectorias variables en el tiempo a las posiciones iniciales. Se determina un horizonte de predictibilidad antes del inicio de la SDIC. [ 25 ]

Ilustraciones

Teoría y definición matemática

Un gráfico del atractor extraño de Lorenz para valores ρ=28, σ = 10, β = 8/3. El efecto mariposa o dependencia sensible de las condiciones iniciales es la propiedad de un sistema dinámico que, partiendo de cualquiera de varias condiciones iniciales alternativas arbitrariamente cercanas en el atractor, los puntos iterados se dispersarán arbitrariamente entre sí.

La recurrencia , es decir, el retorno aproximado de un sistema a sus condiciones iniciales, junto con la dependencia sensible de dichas condiciones, son los dos ingredientes principales del movimiento caótico. Esto tiene como consecuencia práctica que los sistemas complejos , como el clima , sean difíciles de predecir más allá de un cierto intervalo de tiempo (aproximadamente una semana en el caso del clima), ya que es imposible medir las condiciones atmosféricas iniciales con total precisión.

Un sistema dinámico muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales si puntos arbitrariamente cercanos entre sí se separan con el tiempo a una tasa exponencial. La definición no es topológica, sino esencialmente métrica. Lorenz [ 24 ] definió la dependencia sensible de la siguiente manera:

La propiedad que caracteriza a una órbita (es decir, una solución) es que la mayoría de las demás órbitas que pasan cerca de ella en algún momento no permanecen cerca de ella a medida que avanza el tiempo.

Si M es el espacio de estados para el mapaFt{\displaystyle f^{t}}, entoncesFt{\displaystyle f^{t}}muestra una dependencia sensible a las condiciones iniciales si para cualquier x en M y cualquier δ  >  0, existen y en M , con distancia d (. , .) tales que0<d(incógnita,y)<δ{\displaystyle 0<d(x,y)<\delta }y tal que

d(Fτ(incógnita),Fτ(y))>miaτd(incógnita,y){\displaystyle d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\mathrm {e} ^{a\tau }\,d(x,y)}

para algún parámetro positivo a . La definición no requiere que todos los puntos de un vecindario se separen del punto base x , pero sí requiere un exponente de Lyapunov positivo . Además de un exponente de Lyapunov positivo, la acotación es otra característica importante dentro de los sistemas caóticos. [ 26 ]

El marco matemático más simple que muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales viene dado por una parametrización particular del mapa logístico :

incógnitanorte+1=4incógnitanorte(1−incógnitanorte),0≤incógnita0≤1,{\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}\leq 1,}

que, a diferencia de la mayoría de los mapas caóticos, tiene una solución de forma cerrada :

incógnitanorte=pecado2⁡(2norteθπ){\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}

donde el parámetro de condición inicialθ{\displaystyle \theta }es dado porθ=1πpecado−1⁡(incógnita01/2){\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}. Para racionalθ{\displaystyle \theta }, después de un número finito de iteracionesincógnitanorte{\displaystyle x_{n}}se asignan a una secuencia periódica . Pero casi todosθ{\displaystyle \theta }son irracionales y, para irracionalesθ{\displaystyle \theta },incógnitanorte{\displaystyle x_{n}}nunca se repite a sí mismo: no es periódico. Esta ecuación de solución demuestra claramente las dos características clave del caos: estiramiento y plegado: el factor 2n muestra el crecimiento exponencial del estiramiento, que resulta en una dependencia sensible de las condiciones iniciales (el efecto mariposa), mientras que la función seno al cuadrado mantieneincógnitanorte{\displaystyle x_{n}}plegado dentro del rango  [0,  1].

En los sistemas físicos

En clima

Descripción general

El efecto mariposa es más conocido en el ámbito meteorológico; se puede demostrar fácilmente en los modelos estándar de predicción meteorológica, por ejemplo. Los climatólogos James Annan y William Connolley explican que el caos es importante en el desarrollo de los métodos de predicción meteorológica; los modelos son sensibles a las condiciones iniciales. Añaden la siguiente salvedad: «Por supuesto, la existencia de una mariposa desconocida batiendo sus alas no tiene una relación directa con los pronósticos meteorológicos, ya que una perturbación tan pequeña tardaría demasiado en alcanzar un tamaño significativo, y tenemos muchas más incertidumbres inmediatas de las que preocuparnos. Por lo tanto, el impacto directo de este fenómeno en la predicción meteorológica suele ser algo erróneo». [ 27 ]

Diferenciación de los tipos de efecto mariposa

El concepto del efecto mariposa abarca varios fenómenos. Los dos tipos de efectos mariposa, incluyendo la dependencia sensible de las condiciones iniciales, [ 3 ] y la capacidad de una pequeña perturbación para crear una circulación organizada a grandes distancias, [ 1 ] no son exactamente iguales. [ 28 ] En Palmer et al., [ 22 ] se introduce un nuevo tipo de efecto mariposa, destacando el impacto potencial de los procesos a pequeña escala en la predictibilidad finita dentro del modelo de Lorenz de 1969. Además, la identificación de aspectos mal condicionados del modelo de Lorenz de 1969 apunta a una forma práctica de predictibilidad finita. [ 25 ] Estos dos mecanismos distintos que sugieren predictibilidad finita en el modelo de Lorenz de 1969 se denominan colectivamente el tercer tipo de efecto mariposa. [ 29 ] Los autores en [ 29 ] han considerado las sugerencias de Palmer et al. y han tenido como objetivo presentar su perspectiva sin plantear objeciones específicas.

El tercer tipo de efecto mariposa con predictibilidad finita, como se analiza en [ 22 ] , se propuso principalmente a partir de una serie geométrica convergente, conocida como las fórmulas de Lorenz y Lilly. En [ 30 ] se están llevando a cabo debates sobre la validez de estas dos fórmulas para estimar los límites de predictibilidad.

Se ha documentado una comparación de los dos tipos de efectos mariposa [ 1 ] [ 3 ] y el tercer tipo de efecto mariposa [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] . [ 29 ] En estudios recientes, [ 25 ] [ 31 ] se informó que tanto los modelos lineales meteorológicos como los no meteorológicos han demostrado que la inestabilidad juega un papel en la producción de un efecto mariposa, que se caracteriza por un crecimiento exponencial breve pero significativo resultante de una pequeña perturbación.

Debates recientes sobre el efecto mariposa

El primer tipo de efecto mariposa (BE1), conocido como SDIC (Dependencia Sensible de las Condiciones Iniciales), es ampliamente reconocido y demostrado a través de modelos caóticos idealizados. Sin embargo, existen diferentes opiniones respecto al segundo tipo de efecto mariposa, específicamente el impacto del aleteo de una mariposa en la formación de tornados, como se indica en dos artículos de 2024. [ 32 ] [ 33 ] En discusiones más recientes publicadas por Physics Today , [ 34 ] [ 35 ] se reconoce que el segundo tipo de efecto mariposa (BE2) nunca se ha verificado rigurosamente utilizando un modelo meteorológico realista. Si bien los estudios sugieren que el BE2 es improbable en la atmósfera real, [ 32 ] [ 34 ] su invalidez en este contexto no niega la aplicabilidad del BE1 en otras áreas, como pandemias o eventos históricos. [ 36 ]

Para el tercer tipo de efecto mariposa, la predictibilidad limitada dentro del modelo de Lorenz de 1969 se explica por interacciones de escala en un artículo [ 22 ] y por mal condicionamiento del sistema en otro estudio más reciente. [ 25 ]

Previsibilidad finita en sistemas caóticos

Según Lighthill (1986), [ 37 ] la presencia de SDIC (comúnmente conocido como el efecto mariposa) implica que los sistemas caóticos tienen un límite de predictibilidad finito. En una revisión de la literatura, [ 38 ] se encontró que la perspectiva de Lorenz sobre el límite de predictibilidad se puede condensar en la siguiente afirmación:

  • (A). El modelo de Lorenz de 1963 reveló cualitativamente la esencia de una predictibilidad finita dentro de un sistema caótico como la atmósfera. Sin embargo, no determinó un límite preciso para la predictibilidad de la atmósfera.
  • (B). En la década de 1960, el límite de predictibilidad de dos semanas se estimó originalmente basándose en un tiempo de duplicación de cinco días en modelos del mundo real. Desde entonces, este hallazgo ha sido documentado en Charney et al. (1966) [ 39 ] [ 40 ] y se ha convertido en un consenso.

Recientemente, se ha creado un breve vídeo para presentar la perspectiva de Lorenz sobre el límite de predictibilidad. [ 41 ]

Un estudio reciente se refiere al límite de predictibilidad de dos semanas, calculado inicialmente en la década de 1960 con el tiempo de duplicación de cinco días del modelo de Mintz-Arakawa, como la "Hipótesis del Límite de Previsibilidad". [ 42 ] Inspirado en la Ley de Moore, este término reconoce las contribuciones colaborativas de Lorenz, Mintz y Arakawa bajo el liderazgo de Charney. La hipótesis respalda la investigación de predicciones de largo alcance utilizando métodos físicos basados ​​en ecuaciones diferenciales parciales (EDP) y técnicas de inteligencia artificial (IA).

En mecánica cuántica

El potencial de dependencia sensible de las condiciones iniciales (el efecto mariposa) se ha estudiado en varios casos en física semiclasica y cuántica , incluyendo átomos en campos fuertes y el problema de Kepler anisotrópico . [ 43 ] [ 44 ] Algunos autores han argumentado que no se espera una dependencia extrema (exponencial) de las condiciones iniciales en tratamientos puramente cuánticos; [ 45 ] [ 46 ] sin embargo, la dependencia sensible de las condiciones iniciales demostrada en el movimiento clásico está incluida en los tratamientos semiclasicos desarrollados por Martin Gutzwiller [ 47 ] y John B. Delos y colaboradores. [ 48 ] La teoría de matrices aleatorias y las simulaciones con computadoras cuánticas demuestran que algunas versiones del efecto mariposa en mecánica cuántica no existen. [ 49 ]

Otros autores sugieren que el efecto mariposa puede observarse en sistemas cuánticos. Zbyszek P. Karkuszewski et al. consideran la evolución temporal de sistemas cuánticos que tienen hamiltonianos ligeramente diferentes . Investigan el nivel de sensibilidad de los sistemas cuánticos a pequeños cambios en sus hamiltonianos dados. [ 50 ] David Poulin et al. presentaron un algoritmo cuántico para medir la desintegración de la fidelidad, que "mide la tasa a la que divergen estados iniciales idénticos cuando se someten a dinámicas ligeramente diferentes". Consideran que la desintegración de la fidelidad es "el análogo cuántico más cercano al efecto mariposa (puramente clásico)". [ 51 ] Mientras que el efecto mariposa clásico considera el efecto de un pequeño cambio en la posición y/o velocidad de un objeto en un sistema hamiltoniano dado , el efecto mariposa cuántico considera el efecto de un pequeño cambio en el sistema hamiltoniano con una posición y velocidad iniciales dadas. [ 52 ] [ 53 ] Este efecto mariposa cuántico se ha demostrado experimentalmente. [ 54 ] Los tratamientos cuánticos y semiclasicos de la sensibilidad del sistema a las condiciones iniciales se conocen como caos cuántico . [ 45 ] [ 52 ]

El efecto mariposa ha aparecido en diversos medios, como la literatura (por ejemplo, A Sound of Thunder ), el cine y la televisión (como Los Simpson ), los videojuegos (como Life Is Strange ), los webcómics (como Homestuck ), las referencias musicales (como "Butterfly Effect" de Travis Scott ), los modelos de lenguaje expansivos impulsados ​​por IA y mucho más.

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

  • James Gleick , Caos: Creando una nueva ciencia , Nueva York: Viking, 1987. 368 págs.
  • Devaney, Robert L. (2003). Introducción a los sistemas dinámicos caóticos . Westview Press. ISBN 0-670-81178-5.
  • Hilborn, Robert C. (2004). "Gaviotas, mariposas y saltamontes: Una breve historia del efecto mariposa en la dinámica no lineal". American Journal of Physics . 72 (4): 425– 427. Bibcode : 2004AmJPh..72..425H . doi : 10.1119/1.1636492 .
  • Bradbury, Ray. "Un sonido de trueno". Collier's. 28 de junio de 1952.
  • Clima y caos: La obra de Edward N. Lorenz . Un breve documental que explica el "efecto mariposa" en el contexto de la obra de Lorenz.
  • El libro hipertextual del caos . Una introducción al caos y los fractales.
  • Dizikes, Peter (8 de junio de 2008). "El significado de la mariposa. Por qué la cultura pop adora el 'efecto mariposa' y lo malinterpreta por completo" . The Boston Globe . Boston, Massachusetts . Consultado el 19 de junio de 2022 .
  • Instituto de Sistemas Complejos de Nueva Inglaterra - Conceptos: Efecto mariposa
  • ChaosBook.org . Libro de texto avanzado para posgrado sobre el caos (sin fractales).
  • Weisstein, Eric W. "Efecto mariposa" . MathWorld .