Representación de Burau

En matemáticas, la representación de Burau es una representación de los grupos trenzados , llamada así por el matemático alemán Werner Burau ^[1] y estudiada originalmente por él durante la década de 1930. La representación de Burau tiene dos formulaciones comunes y casi equivalentes, las representaciones de Burau reducida y no reducida .

Considérese el grupo trenzado B _n como el grupo de clases de aplicación de un disco con n puntos marcados D _n . El grupo de homología H ₁ ( D _n ) es abeliano libre de rango n . Además, el subespacio invariante de H ₁ ( D _n ) (bajo la acción de B _n ) es cíclico primitivo e infinito. Sea π  : H ₁ ( D _n ) → Z la proyección sobre este subespacio invariante. Entonces hay un espacio de recubrimiento C _n correspondiente a esta función de proyección. De forma muy similar a la construcción del polinomio de Alexander , considérese H ₁ ( C _n ) como un módulo sobre el anillo de grupos de transformaciones de recubrimiento Z [ Z ] , que es isomorfo al anillo de polinomios de Laurent Z [ t , t ⁻¹ ] . Como módulo Z [ t , t ⁻¹ ] , H ₁ ( C _n ) está libre de rango n  − 1 . Por la teoría básica de espacios de recubrimiento , B _n actúa sobre H ₁ ( C _n ) , y esta representación se denomina representación de Burau reducida .

La representación de Burau no reducida tiene una definición similar, es decir, se reemplaza D _n por su explosión (real, orientada) en los puntos marcados. Entonces, en lugar de considerar H ₁ ( C _n ), se considera la homología relativa H ₁ ( C _n , Γ) donde γ ⊂ D _n es la parte del límite de D _n correspondiente a la operación de explosión junto con un punto en el límite del disco. Γ denota la elevación de γ a C _n . Como módulo Z [ t , t ⁻¹ ], este está libre de rango n .

Por la homología de la secuencia larga y exacta de un par , las representaciones de Burau encajan en una secuencia corta y exacta

0 → V _r → V _u → D ⊕ Z [ t , t ⁻¹ ] → 0,

donde V _r (resp. V _u ) es el módulo Burau B _n reducido (resp. no reducido) y D ⊂ Z ⁿ es el complemento del subespacio diagonal, en otras palabras:

${\displaystyle D=\left\{\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbf {Z} ^{n}:x_{1}+\cdots +x_{n}=0\right\},}$

y B _n actúa sobre Z ⁿ mediante la representación de permutación.

Sea σ _i el generador estándar del grupo trenzado B _n . Entonces la representación de Burau no reducida se puede dar explícitamente mediante el mapeo

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc|c}I_{i-1}&0&0&0\\\hlínea 0&1-t&t&0\\0&1&0&0\\\hlínea 0&0&0&I_{ni-1}\end{array}}\right),}$

para 1 ≤ i ≤ n − 1 , donde I _k denota la matriz identidad k × k . Asimismo, para n ≥ 3 la representación de Burau reducida viene dada por

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto \left({\begin{array}{cc|c}-t&1&0\\0&1&0\\\hline 0&0&I_{n-3}\end{array}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|ccc|c}I_{i-2}&0&0&0&0\\\hlínea 0&1&0&0&0\\0&t&-t&1&0\\0&0&0&1&0\\\hlínea 0&0&0&0&I_{ni-2}\end{array}}\right),\quad 2\leq i\leq n-2,}$

${\displaystyle \sigma _{n-1}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc}I_{n-3}&0&0\\\hline 0&1&0\\0&t&-t\end{array}}\right),}$

mientras que para n = 2 , se asigna

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto \izquierda(-t\derecha).}$

Vaughan Jones ^[2] dio la siguiente interpretación de la representación de Burau no reducida de trenzas positivas para t en [0,1] – es decir, para trenzas que son palabras en los generadores de grupos de trenzas estándar que no contienen inversas – que se desprende inmediatamente de la descripción explícita anterior:

Dada una trenza positiva σ en n hebras, interprétela como una bolera con n pistas entrelazadas. Ahora lanza una bola de boliche por una de las pistas y supone que en cada cruce donde su trayectoria cruza otra pista, cae con probabilidad t y continúa a lo largo de la pista inferior. Entonces, la ( i , j ) 'ésima entrada de la representación de Burau no reducida de σ es la probabilidad de que una bola lanzada a la i 'ésima pista termine en la j 'ésima pista.

Si un nudo K es el cierre de una trenza f en B _n , entonces, hasta la multiplicación por una unidad en Z [ t , t ⁻¹ ] , el polinomio de Alexander Δ _K ( t ) de K está dado por

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*}),}$

donde f _∗ es la representación reducida de Burau de la trenza f .

Por ejemplo, si f = σ ₁ σ ₂ en B ₃ , se encuentra utilizando las matrices explícitas anteriores que

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*})=1,}$

y el cierre de f _* es el nudo cuyo polinomio de Alexander es 1 .

Las primeras representaciones de Burau no fieles fueron encontradas por John A. Moody sin el uso de la computadora, usando una noción de número de enrollamiento o integración de contorno. ^[3] Una comprensión más conceptual, debido a Darren D. Long y Mark Paton ^[4] interpreta el enlace o enrollamiento como proveniente de la dualidad de Poincaré en primera homología relativa al punto base de un espacio de recubrimiento, y usa la forma de intersección (tradicionalmente llamada Forma de Squier ya que Craig Squier fue el primero en explorar sus propiedades). ^[5] Stephen Bigelow combinó técnicas de computadora y el teorema de Long-Paton para mostrar que la representación de Burau no es fiel para n ≥ 5. [ ^{6] [7] [8]} Bigelow además proporciona un elemento no trivial explícito en el núcleo como una palabra en los generadores estándar del grupo de trenza: sea

${\displaystyle \psi _{1}=\sigma _{3}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{4}^{3}\sigma _{3}\sigma _{2},\quad \psi _{2}=\sigma _{4}^{-1}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}\sigma _{4}^{5}.}$

Entonces un elemento del núcleo viene dado por el conmutador

${\displaystyle [\psi _{1}^{-1}\sigma _{4}\psi _{1},\psi _{2}^{-1}\sigma _{4}\sigma _{3 }\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{4}\psi _{2}].}$

Desde hace algún tiempo se sabe que la representación de Burau para n = 2, 3 es fiel. La fidelidad de la representación de Burau cuando n = 4 es un problema abierto. La representación de Burau aparece como un sumando de la representación de Jones, y para n = 4 , la fidelidad de la representación de Burau es equivalente a la de la representación de Jones, que por otra parte está relacionada con la cuestión de si el polinomio de Jones es o no un detector de nudos . ^[9]

Craig Squier demostró que la representación de Burau conserva una forma sesquilineal . ^[5] Además, cuando se elige que la variable t sea un número complejo unitario trascendental cercano a 1 , es un apareamiento hermítico definido positivo . Por lo tanto, la representación de Burau del grupo trenzado B _n puede considerarse como una función en el grupo unitario U( n ).

• "Teorema de Burau", El Atlas de Nudos .