Problema del palo roto

En probabilidad geométrica , el problema del palo roto plantea la probabilidad de que se pueda formar un triángulo con las tres partes de un segmento de línea que se ha dividido aleatoriamente en tres partes. Tres segmentos de línea forman un triángulo si y solo si cumplen la desigualdad triangular : la longitud de cada segmento es menor que la suma de las longitudes de los otros dos. ^{[ 1 ]} El problema fue planteado por Emanuel Czuber en 1884. ^{[ 2 ]} Al igual que con otros problemas de probabilidad geométrica, la respuesta depende de cómo se formalice esta división aleatoria mediante una distribución de probabilidad . ^{[ 1 ]}

Para dos puntos de división elegidos de forma uniforme e independiente en el segmento de línea dado, las tres longitudes pueden representarse como las tres coordenadas baricéntricas de un punto en un triángulo equilátero cuya altura es la longitud del segmento de línea original, o equivalentemente como las tres distancias del punto a los lados del triángulo. ^{[ 1 ]} (Esta es una aplicación del teorema de Viviani ). Para esta interpretación bidimensional del problema, hallada por Henri Poincaré , ^{[ 2 ]} la distribución uniforme de los dos puntos de división corresponde a una distribución uniforme de puntos dentro del triángulo equilátero, y un par de puntos de división que forman un triángulo corresponde a un punto dentro del triángulo medial del triángulo dado. El área del triángulo medial es${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$el área del triángulo equilátero exterior, y por lo tanto, para esta distribución de puntos divididos, la probabilidad de formar un triángulo es${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$. ^{[ 1 ]}

Una interpretación bidimensional alternativa utiliza los dos puntos de división como las coordenadas cartesianas de un punto en el cuadrado unitario ; la región del cuadrado unitario en la que las dos divisiones forman tres segmentos de un triángulo es un cuadrado cruzado con sus vértices en los puntos medios del cuadrado unitario, que nuevamente tiene área${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$del total. ^{[ 3 ]}

Una distribución de probabilidad alternativa elige el primer punto de división uniformemente al azar, elige uno de los dos segmentos de línea resultantes al azar (con probabilidad${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$de elegir cada segmento), y luego elige un segundo punto de división uniformemente al azar dentro del segmento elegido. Para este modelo del problema, la probabilidad de formar un triángulo es${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$. ^{[ 1 ]}

Una generalización del problema pregunta si un segmento de línea dividido en${\displaystyle k}$las piezas pueden formar una${\displaystyle k}$-gon. ^{[ 4 ] [ 5 ]}