Boustrophedon transforma

En matemáticas , la transformada bustrofedón es un procedimiento que transforma una secuencia en otra. La secuencia transformada se calcula mediante una operación de "suma", implementada como si se rellenara una matriz triangular de forma bustrofedón ( en zigzag o serpentina), a diferencia del método de "barrido raster" en forma de diente de sierra .

Definición

La transformada bustrophedon es una transformación numérica generadora de secuencias, que se determina mediante una operación binaria como la suma .

{\displaystyle b_{0}=a_{0}} — **Figura 1.** La transformada bustrofedón: Comience con la secuencia original (en azul), luego agregue números como lo indican las flechas y finalmente lea la secuencia transformada en el otro lado (en rojo, con $b_{0}=a_{0}$ ).

En términos generales, dada una secuencia: $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ , la transformada bustrophedon produce otra secuencia: $(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )$ , dónde $b_{0}$ es probable que se defina como equivalente a $a_{0}$ . La totalidad de la transformación en sí misma puede visualizarse (o imaginarse) como construida al rellenar el triángulo como se muestra en la Figura 1 .

Triángulo de Boustrophedon

Para completar el triángulo isósceles numérico ( Figura 1 ), se comienza con la secuencia de entrada, $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ y colocar un valor (de la secuencia de entrada) por fila, utilizando el enfoque de escaneo bustrofedón ( similar a un zigzag o una serpentina ).

El vértice superior del triángulo será el valor de entrada. $a_{0}$ , equivalente al valor de salida $b_{0}$ y numeramos esta fila superior como fila 0.

Las filas subsiguientes (descendiendo hasta la base del triángulo) se numeran consecutivamente (desde 0) como números enteros; sea $k$ denotan el número de la fila que se está llenando actualmente. Estas filas se construyen de acuerdo con el número de fila ( $k$ ) de la siguiente manera:

Para todas las filas, numeradas $k\in \mathbb {N}$ , habrá exactamente $(k+1)$ valores en la fila.
Si $k$ $k$ es extraño, entonces ponga el valor $a_{k}$ $a_{k}$ en el extremo derecho de la fila.
- Rellene el interior de esta fila de derecha a izquierda, donde cada valor (índice: $(k,j)$ ) es el resultado de la "suma" entre el valor a la derecha (índice: $(k,j+1)$ ) y el valor en la parte superior derecha (índice: $(k-1,j+1)$ ).
- El valor de salida $b_{k}$ estará en el extremo izquierdo de una fila impar (donde $k$ es extraño ).
Si $k$ $k$ Si es par, entonces ingrese el valor $a_{k}$ $a_{k}$ en el extremo izquierdo de la fila.
- Rellene el interior de esta fila de izquierda a derecha, donde cada valor (índice: $(k,j)$ ) es el resultado de la "suma" entre el valor a su izquierda (índice: $(k,j-1)$ ) y el valor a su izquierda superior (índice: $(k-1,j-1)$ ).
- El valor de salida $b_{k}$ estará en el extremo derecho de una fila par (donde $k$ es incluso ).

Consulte las flechas de la Figura 1 para obtener una representación visual de estas operaciones de "suma".

Para una secuencia de entrada finita dada: $(a_{0},a_{1},...a_{N})$ , de $N$ valores, habrá exactamente $N$ filas en el triángulo, de tal manera que $k$ es un número entero en el rango: $[0,N)$ (exclusivo). En otras palabras, la última fila es $k=N-1$ .

Relación de recurrencia

Una definición más formal utiliza una relación de recurrencia . Defina los números $T_{k,n}$ (con k ≥ n ≥ 0) por

T_{k,0}=a_{k}

T_{k,n}=T_{k,n-1}+T_{k-1,kn}

{\text{with }}

\quad k,n\in \mathbb {N}

\quad k\geq n>0

.

Entonces la secuencia transformada se define por $b_{n}=T_{n,n}$ (para $T_{2,2}$ y mayores índices).

Según esta definición, tenga en cuenta las siguientes definiciones para los valores que quedan fuera de las restricciones (de la relación anterior) en $(k,n)$ pares:

${\begin{aligned}T_{0,0}\,{\overset {\Delta }{=}}&\,a_{0}\,{\overset {\Delta }{=}}\,b_{0}\\\\T_{k,0}\,{\overset {\Delta }{=}}&\,a_{k}\,\iff k\,{\text{is even}}\\T_{k,0}\,{\overset {\Delta }{=}}&\,b_{k}\,\iff k\,{\text{is odd}}\\\\T_{0,k}\,{\overset {\Delta }{=}}&\,b_{k}\,\iff k\,{\text{is even}}\\T_{0,k}\,{\overset {\Delta }{=}}&\,a_{k}\,\iff k\,{\text{is odd}}\\\end{aligned}}$

Casos especiales

En el caso a ₀ = 1, a _n = 0 ( n > 0 ), el triángulo resultante se llama Triángulo de Seidel – Entringer – Arnold ^{[ 1 ]} y los números $T_{k,n}$ se denominan números de Entringer (secuencia A008281 en el OEIS ) .

En este caso, los números en la secuencia transformada b _n se denominan números de Euler ascendentes/descendentes. ^{[ 2 ]} Esta es la secuencia A000111 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Estas enumeran el número de permutaciones alternas en n letras y están relacionadas con los números de Euler y los números de Bernoulli .

definición(es) algebraica(s)

Partiendo del diseño geométrico de la transformada bustrophedon, definiciones algebraicas de la relación a partir de valores de entrada ( $a_{i}$ ) para generar valores ( $b_{i}$ ) se puede definir para diferentes álgebras ("dominios numéricos").

Valores euclidianos (reales)

En la euclidiana ( $\mathbb {E} ^{n}$ ) Álgebra para números reales ( $\mathbb {R} ^{1}$ Los escalares con valores )-, el valor real transformado de boustrophedon $(b n)$ se relaciona con el valor de entrada, $(a n)$ , de la siguiente manera:

${\begin{aligned}b_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{k}E_{n-k}\\\end{aligned}}$ ,

con la relación inversa (entrada a partir de salida) definida como:

${\begin{aligned}a_{n}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}b_{k}E_{n-k}\end{aligned}}$ ,

donde $(E n)$ es la secuencia de números "ascendentes/descendentes", también conocidos como números secantes o tangentes . ^{[ 3 ]}

La función generadora exponencial

La función generadora exponencial de una secuencia ( a _n ) se define por

EG(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.

La función generadora exponencial de la transformada bustrophedon ( b _n ) está relacionada con la de la secuencia original ( a _n ) mediante

EG(b_{n};x)=(\sec x+\tan x)\,EG(a_{n};x).

La función generadora exponencial de la secuencia unitaria es 1, por lo que la de los números ascendentes/descendentes es sec x + tan x .

Referencias

^ Weisstein, Eric W. "Triángulo Seidel-Entringer-Arnold". De MathWorld : un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Seidel-Entringer-ArnoldTriangle.html
↑ Weisstein, Eric W. "Número euleriano". De MathWorld , un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html
↑ Weisstein, Eric W. "Transformada de Boustrophedon". De MathWorld , un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/BoustrophedonTransform.html

Millar, Jessica; Sloane, NJA; Young, Neal E. (1996). "Una nueva operación sobre secuencias: la transformada de Boustrouphedon". Journal of Combinatorial Theory, Series A . 76 (1): 44– 54. arXiv : math.CO/0205218 . doi : 10.1006/jcta.1996.0087 . S2CID 15637402 .
Weisstein, Eric W. (2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition . Chapman & Hall/CRC. p. 273. ISBN 1-58488-347-2.

[1] Weisstein, Eric W. "Triángulo Seidel-Entringer-Arnold". De MathWorld : un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Seidel-Entringer-ArnoldTriangle.html

[2] Weisstein, Eric W. "Número euleriano". De MathWorld , un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html

[3] Weisstein, Eric W. "Transformada de Boustrophedon". De MathWorld , un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/BoustrophedonTransform.html

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