Teorema de Bochner

En matemáticas , el teorema de Bochner (llamado así por Salomon Bochner ) caracteriza la transformada de Fourier-Stieltjes de una medida de Borel finita positiva en la recta real. ^{[ 1 ]} De manera más general en análisis armónico , el teorema de Bochner afirma que, bajo la transformada de Fourier, una función continua definida positiva en un grupo abeliano localmente compacto corresponde a una medida positiva finita en el grupo dual de Pontryagin . El caso de las sucesiones fue establecido por primera vez por Gustav Herglotz. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Teorema de Bochner para un grupo abeliano localmente compacto${\displaystyle G}$, con grupo dual${\displaystyle {\widehat {G}}}$, dice lo siguiente: ^{[ 4 ]}

Teorema Para cualquier función definida positiva continua normalizada${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ (la normalización aquí significa que${\displaystyle f}$es 1 en la unidad de${\displaystyle G}$), existe una medida de probabilidad única${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle {\widehat {G}}}$de tal manera que

$${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ),}$$

es decir${\displaystyle f}$es la transformada de Fourier de una medida de probabilidad única${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle {\widehat {G}}}$. Por el contrario, la transformada de Fourier de una medida de probabilidad en${\displaystyle {\widehat {G}}}$es necesariamente una función continua definida positiva normalizada${\displaystyle f}$en${\displaystyle G}$De hecho, se trata de una correspondencia uno a uno.

La transformada de Gelfand-Fourier es un isomorfismo entre el grupo C*-álgebra${\displaystyle C^{*}(G)}$y${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$. El teorema es esencialmente el enunciado dual para los estados de las dos C*-álgebras abelianas.

La demostración del teorema pasa por estados vectoriales en representaciones unitarias fuertemente continuas de${\displaystyle G}$(La demostración muestra, de hecho, que toda función definida positiva continua normalizada debe tener esta forma).

Dada una función continua definida positiva normalizada${\displaystyle f}$en${\displaystyle G}$, se puede construir una representación unitaria fuertemente continua de${\displaystyle G}$De forma natural: Deja${\displaystyle F_{0}(G)}$sea ​​la familia de funciones de valor complejo en${\displaystyle G}$con soporte finito, es decir${\displaystyle h(g)=0}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle g}$El núcleo definido positivo${\displaystyle K(g_{1},g_{2})=f(g_{1}-g_{2})}$induce un producto interno (posiblemente degenerado) en${\displaystyle F_{0}(G)}$Al cociente de la degeneración y tomar la completitud se obtiene un espacio de Hilbert.

$${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot,\cdot \rangle _ {f}),}$$

cuyo elemento típico es una clase de equivalencia${\displaystyle [h]}$. Para un fijo${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$, el " operador de turno "${\displaystyle U_{g}}$definido por${\displaystyle (U_{g}h)(g')=h(g'-g)}$, para un representante de${\displaystyle [h]}$es unitario. Por lo tanto, el mapa

$${\displaystyle g\mapsto U_ {g}}$$

es una representación unitaria de${\displaystyle G}$en${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot,\cdot \rangle _ {f})}$. Por continuidad de${\displaystyle f}$, es débilmente continua, por lo tanto fuertemente continua. Por construcción, tenemos

$${\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=f(g),}$$

dónde${\displaystyle [e]}$es la clase de la función que es 1 en la identidad de${\displaystyle G}$y cero en cualquier otro lugar. Pero por isomorfismo de Gelfand-Fourier, el estado vectorial${\displaystyle \langle \cdot [e],[e]\rangle _ {f}}$en${\displaystyle C^{*}(G)}$es la retirada de un estado en${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$, lo cual es necesariamente una integración contra una medida de probabilidad${\displaystyle \mu }$. Al recorrer los isomorfismos se obtiene entonces

$${\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ).}$$

Por otro lado, dada una medida de probabilidad${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle {\widehat {G}}}$, la función

$${\displaystyle f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi )}$$

es una función definida positiva continua normalizada. Continuidad de${\displaystyle f}$se deduce del teorema de convergencia dominada . Para la positividad definida, tomemos una representación no degenerada de${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})}$Esto se extiende de forma única a una representación de su álgebra de multiplicadores .${\displaystyle C_{b}({\widehat {G}})}$y por lo tanto una representación unitaria fuertemente continua${\displaystyle U_{g}}$. Como se indicó anteriormente, tenemos${\displaystyle f}$dado por algún estado vectorial en${\displaystyle U_{g}}$

$${\displaystyle f(g)=\langle U_{g}v,v\rangle,}$$

por lo tanto, positivo-definido.

Las dos construcciones son inversas entre sí.

El teorema de Bochner en el caso especial del grupo discreto${\displaystyle \mathbb {Z} }$a menudo se le conoce como el teorema de Herglotz y dice que una función${\displaystyle f}$en${\displaystyle \mathbb {Z} }$con${\displaystyle f(0)=1}$es definida positiva si y solo si existe una medida de probabilidad${\displaystyle \mu }$en el círculo${\displaystyle \mathbb {T} }$de tal manera que $${\displaystyle f(k)=\int _{\mathbb {T} }e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x),}$$ son los coeficientes de una serie de Fourier-Stieltjes . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

De manera similar, una función continua${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {C} }$con${\displaystyle f(0)=1}$es definida positiva si y solo si existe una medida de probabilidad${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$de tal manera que

$${\displaystyle f(t)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-2\pi i\xi \cdot t}\,d\mu (\xi ).}$$

Aquí,${\displaystyle f}$es definida positiva si para cualquier conjunto finito de puntos${\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{N}\in \mathbb {R} ^{d}}$y cualquier número complejo${\displaystyle \rho _{1},\cdots ,\rho _{N}\in \mathbb {C} }$, allí se sostiene

$${\displaystyle \sum _{p,q=1}^{N}f(\alpha _{p}-\alpha _{q})\rho _{p}{\bar {\rho }}_{q}\geqslant 0.}$$

En estadística , el teorema de Bochner se puede utilizar para describir la autocorrelación de ciertos tipos de series temporales . Una secuencia de variables aleatorias${\displaystyle \{f_{n}\}}$de media 0 es una serie temporal estacionaria (en sentido amplio) si la covarianza

$${\displaystyle \operatorname {Cov} (f_ {n}, f_ {m})}$$

solo depende de${\displaystyle nm}$. La función

$${\displaystyle g(nm)=\operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})}$$

se denomina función de autocovarianza de la serie temporal. Bajo el supuesto de media cero,

$${\displaystyle g(nm)=\langle f_ {n},f_ {m}\rangle,}$$

dónde${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$denota el producto interno en el espacio de Hilbert de variables aleatorias con segundos momentos finitos. Es entonces inmediato que${\displaystyle g}$es una función definida positiva sobre los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$Según el teorema de Bochner, existe una medida positiva única.${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle [0,1]}$de tal manera que

$${\displaystyle g(k)=\int e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).}$$

Esta medida${\displaystyle \mu }$Se denomina medida espectral de la serie temporal. Proporciona información sobre las "tendencias estacionales" de la serie.

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle z}$frijol${\displaystyle m}$-enésima raíz de la unidad (con la identificación actual, esto es${\displaystyle 1/m\in [0,1]}$) y${\displaystyle f}$Sea una variable aleatoria de media 0 y varianza 1. Considere la serie temporal.${\displaystyle \{z^{n}f\}}$La función de autocovarianza es

$${\displaystyle g(k)=z^{k}.}$$

Evidentemente, la medida espectral correspondiente es la masa puntual de Dirac centrada en${\displaystyle z}$Esto se relaciona con el hecho de que la serie temporal se repite cada${\displaystyle m}$períodos.

Cuando${\displaystyle g}$tiene una disminución suficientemente rápida, la medida${\displaystyle \mu }$es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue y su derivada de Radon-Nikodym.${\displaystyle f}$se denomina densidad espectral de la serie temporal. Cuando${\displaystyle g}$se encuentra en${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {Z} )}$,${\displaystyle f}$es la transformada de Fourier de${\displaystyle g}$.

• Teorema de Bochner-Minlos
• Función característica (teoría de la probabilidad)
• Función definida positiva en un grupo
• Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani

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• Loomis, LH (1953), Introducción al análisis armónico abstracto , Van Nostrand
• Maruyama, Toru (2017), "Teorema de representación de Herglotz-Bochner mediante la teoría de las distribuciones" , Journal of the Operations Research Society of Japan , 60 (2): 122– 135, doi : 10.15807/jorsj.60.122 , ISSN 0453-4514 
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