Biholomorfismo

En la teoría matemática de funciones de una o más variables complejas , y también en la geometría algebraica compleja , un biholomorfismo o función biholomorfa es una función holomorfa biyectiva cuya inversa también es holomorfa .

Formalmente, una función biholomorfa es una función${\displaystyle \phi }$definido en un subconjunto abierto U de la${\displaystyle n}$Espacio complejo de dimensión C ⁿ con valores en C ⁿ que es holomorfo e inyectivo , tal que su imagen es un conjunto abierto.${\displaystyle V}$en C ⁿ y el inverso${\displaystyle \phi ^{-1}:V\a U}$También es holomorfa . De forma más general, U y V pueden ser variedades complejas . Como en el caso de funciones de una sola variable compleja, una condición suficiente para que una aplicación holomorfa sea biholomorfa sobre su imagen es que la aplicación sea inyectiva, en cuyo caso la inversa también es holomorfa. ^{[ 1 ]}

Si existe un biholomorfismo${\displaystyle \phi \colon U\to V}$, decimos que U y V son biholomórficamente equivalentes o que son biholomórficas .

Si${\displaystyle n=1,}$Todo conjunto abierto simplemente conexo distinto del plano complejo completo es biholomorfo al disco unitario (este es el teorema de mapeo de Riemann ). La situación es muy diferente en dimensiones superiores. Por ejemplo, las bolas unitarias abiertas y los polidiscos unitarios abiertos no son biholomorfos equivalentes para${\displaystyle n>1.}$De hecho, ni siquiera existe una función holomorfa propiamente dicha de una a la otra.

En el caso de las aplicaciones f  : U → C definidas en un subconjunto abierto U del plano complejo C , algunos autores ^{[ 2 ]} definen una aplicación conforme como una aplicación inyectiva con derivada no nula, es decir, f '( z )≠ 0 para todo z en U . Según esta definición, una aplicación f  : U → C es conforme si y solo si f : U → f ( U ) es biholomorfa. Nótese que, por definición de biholomorfismos, no se asume nada sobre sus derivadas, por lo que esta equivalencia contiene la afirmación de que un homeomorfismo que es diferenciable en el plano complejo debe tener derivada no nula en todas partes. Otros autores ^{[ 3 ]} definen una aplicación conforme como aquella con derivada no nula, pero sin requerir que la aplicación sea inyectiva. Según esta definición más débil, una aplicación conforme no tiene por qué ser biholomorfa, aunque lo sea localmente, por ejemplo, por el teorema de la función inversa. Por ejemplo, si f : U → U se define por f ( z ) = z ² con U = C –{0}, entonces f es conforme en U , ya que su derivada f '( z ) = 2 z ≠ 0, pero no es biholomorfa, ya que es 2-1.