Curva de Bézier compuesta

Dadas dos curvas de Bézier cúbicas con puntos de control${\displaystyle [\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{2},\mathbf {P} _{3}]}$y${\displaystyle [\mathbf {P} _{3},\mathbf {P} _{4},\mathbf {P} _{5},\mathbf {P} _{6}]}$respectivamente, las restricciones para garantizar la continuidad en${\displaystyle \mathbf {P} _{3}}$se puede definir de la siguiente manera:

• ${\displaystyle C^{0}/G^{0}}$(continuidad posicional) requiere que se encuentren en el mismo punto, lo cual hacen todos los polibéziers por definición. En este ejemplo, el punto compartido es${\displaystyle \mathbf {P} _{3}}$
• ${\displaystyle C^{1}}$(continuidad de velocidad) requiere que los puntos de control vecinos alrededor de la unión sean espejos entre sí. En otras palabras, deben seguir la restricción de${\displaystyle \mathbf {P} _{4}=2\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2}}$
• ${\displaystyle G^{1}}$(continuidad tangente) requiere que los puntos de control vecinos sean colineales con la unión. Esto es menos estricto que${\displaystyle C^{1}}$continuidad, dejando un grado de libertad adicional que puede parametrizarse utilizando un escalar${\displaystyle \beta _{1}}$La restricción puede expresarse entonces mediante${\displaystyle \mathbf {P} _{4}=\mathbf {P} _{3}+(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})\beta _{1}}$

Aunque son posibles las siguientes restricciones de continuidad, rara vez se utilizan con polibéziers cúbicos, ya que otras splines como la B-spline o la β-spline ^{[ 7 ]} manejarán naturalmente restricciones más altas sin pérdida de control local.

• ${\displaystyle C^{2}}$(continuidad de aceleración) está restringida por${\displaystyle \mathbf {P} _{5}=\mathbf {P} _{1}+4(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})}$Sin embargo, aplicar esta restricción a lo largo de toda una spline cúbica de Bézier provocará una pérdida en cascada del control local sobre los puntos de tangencia. La curva seguirá pasando por cada tercer punto de la spline, pero se perderá el control sobre su forma. Para lograr${\displaystyle C^{2}}$Para lograr continuidad usando curvas cúbicas, se recomienda usar una B-spline cúbica uniforme en su lugar, ya que garantiza${\displaystyle C^{2}}$continuidad sin pérdida de control local, a costa de no tener ya la garantía de pasar por puntos específicos.
• ${\displaystyle G^{2}}$(continuidad de curvatura) está restringida por${\displaystyle \mathbf {P} _{5}=\mathbf {P} _{3}+(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})(2\beta _ {1}+\beta _ {1}^{2}+\beta _{2}/2)+(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{2})\beta _{1}^{2}}$, dejando dos grados de libertad en comparación con${\displaystyle C^{2}}$, en forma de dos escalares${\displaystyle \beta _{1}}$y${\displaystyle \beta _{2}}$. Es posible alcanzar grados más altos de continuidad geométrica, aunque se vuelven cada vez más complejos ^{[ 8 ].}
• ${\displaystyle C^{3}}$(continuidad de sacudida) está restringida por${\displaystyle \mathbf {P} _{6}=\mathbf {P} _{3}+(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{0})+6(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})}$Aplicar esta restricción a la spline cúbica de Bézier provocará una pérdida total del control local, ya que toda la spline queda ahora completamente restringida y definida por los puntos de control de la primera curva. De hecho, podría decirse que ya no es una spline, puesto que su forma ahora equivale a extrapolar la primera curva indefinidamente, lo que la convierte no solo en${\displaystyle C^{3}}$continuo, pero${\displaystyle C^{\infty }}$ya que las uniones entre curvas separadas ya no existen

Considerando únicamente el arco circular unitario de 90 grados en el primer cuadrante , definimos los puntos extremos.${\displaystyle \mathbf {A} }$y${\displaystyle \mathbf {B} }$con puntos de control${\displaystyle \mathbf {A'} }$y${\displaystyle \mathbf {B'} }$, respectivamente, como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=[0,1]\\\mathbf {A'} &=[\mathbf {k} ,1]\\\mathbf {B'} &=[1,\mathbf {k} ]\\\mathbf {B} &=[1,0]\\\end{aligned}}}$

A partir de la definición de la curva de Bézier cúbica, tenemos:

${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {A} +3(1-t)^{2}t\mathbf {A'} +3(1-t)t^{2}\mathbf {B'} +t^{3}\mathbf {B} }$

Con el punto${\displaystyle \mathbf {C} (t=0.5)}$Como punto medio del arco, podemos escribir las siguientes dos ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C} &={\frac {1}{8}}\mathbf {A} +{\frac {3}{8}}\mathbf {A'} +{\frac {3}{8}}\mathbf {B'} +{\frac {1}{8}}\mathbf {B} &{\text{(por sustitución en Bézier cúbico definición)}}\\\mathbf {C} &=[{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2]&{\text{(por la definición de un círculo)}}\end{aligned}}}$

Resolviendo estas ecuaciones para la coordenada x (e idénticamente para la coordenada y) se obtiene: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\frac {0}{8}}\mathbf {+} {\frac {3}{8}}\mathbf {k} +{\frac {3}{8}}+{\frac {1}{8}}={\sqrt {2}}/2}$

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {4}{3}}({\sqrt {2}}-1)\approx 0.5522847498}$

Podemos aproximar un círculo unitario de radio a partir de un número arbitrario de curvas de Bézier cúbicas. Sea el arco el que comienza en el punto${\displaystyle \mathbf {A} }$y termina en el punto${\displaystyle \mathbf {B} }$, situados a distancias iguales por encima y por debajo del eje x, abarcando un arco de ángulo${\displaystyle \theta =2\phi \leq ={\tfrac {\pi }{2}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=[\cos(\phi ),\sin(\phi )]\\\mathbf {B} &=[\cos(\phi ),-\sin(\phi )]=[\mathbf {A} _{x},-\mathbf {A} _{y}]\end{aligned}}}$

Después de resolver la curva que comienza y termina en los puntos dados, el punto medio del arco ocurre en${\displaystyle t=0.5}$y dado que las tangentes de los puntos finales de la curva son las mismas que las de los círculos, los puntos de control se pueden escribir como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A'} &=[{\frac {4-\mathbf {A} _{x}}{3}},{\frac {(1-\mathbf {A} _{x})(3-\mathbf {A} _{x})}{3\mathbf {A} _{y}}}]&=[{\frac {4-\cos(\phi )}{3}},{\frac {(1-\cos(\phi ))(3-\cos(\phi ))}{3\sin(\phi )}}]\\\mathbf {B'} &=[\mathbf {A'} _{x},-\mathbf {A'} _{y}]&=[{\frac {4-\cos(\phi )}{3}},{\frac {(1-\cos(\phi ))(3-\cos(\phi ))}{-3\sin(\phi )}}]\end{aligned}}}$

La multiplicación de los valores proporciona soluciones generales para arcos de cualquier radio. El uso de matrices de rotación permite dibujar cualquier ángulo. ^{[ 13 ]}

Las restricciones de las soluciones de Ellsworth pueden aplicarse al caso general y resolverse numéricamente.

• 
  Polibézier cuadrático de ocho segmentos (rojo) que aproxima un círculo (negro) con puntos de control.
• 
  Polibézier cúbico de cuatro segmentos (rojo) que aproxima un círculo (negro) con puntos de control.

Para curvas de Bézier de grado n > 1, Ahn (2019) proporciona una${\displaystyle G^{2}}$aproximación para cualquier número de segmentos. La distancia de Hausdorff, así como la mencionada "deriva radial", muestran 2n - 1 puntos extremos y la aproximación de Ahn es, al momento de la publicación, la que presenta la menor distancia máxima de Hausdorff. Se proporcionan soluciones analíticas explícitas para los casos cuadrático, cúbico y cuártico. ^{[ 14 ]}

La aplicación de una transformación afín a las restricciones permite dibujar elipses y arcos elípticos. ^{[ 15 ]}