Modelo beta

En la teoría de modelos , una disciplina matemática, un modelo β (del francés "bon ordre", bien ordenado ^{[ 1 ]} ) es un modelo que es correcto acerca de enunciados de la forma " X está bien ordenado ". El término fue introducido por Mostowski (1959) ^{[ 2 ] [ 3 ]} como un fortalecimiento de la noción de modelo ω. En contraste con la notación para propiedades de teoría de conjuntos nombradas por ordinales , como${\displaystyle \xi }$-indescriptibilidad , la letra β aquí es solo denotativa.

Los modelos β aparecen en el estudio de las matemáticas inversas de subsistemas de aritmética de segundo orden . En este contexto, un modelo β de un subsistema de aritmética de segundo orden es un modelo M donde para cualquier fórmula Σ ₁ ¹${\displaystyle \phi }$con parámetros de M ,${\displaystyle (\omega ,M,+,\times ,0,1,<)\vDash \phi }$si y solo si${\displaystyle (\omega ,{\mathcal {P}}(\omega ),+,\times ,0,1,<)\vDash \phi }$. ^{[ 4 ] pág.  243} Todo β-modelo de aritmética de segundo orden es también un ω-modelo, puesto que trabajando dentro del modelo podemos demostrar que < es un buen ordenamiento, por lo que < es realmente un buen ordenamiento de los números naturales del modelo. ^{[ 2 ]}

Existe un teorema de incompletitud para los β-modelos: si T es una teoría recursivamente axiomatizable en el lenguaje de la aritmética de segundo orden, de forma análoga a como existe un modelo de T+"no existe un modelo de T" si existe un modelo de T, existe un β-modelo de T+"no existen β-modelos codificados contables de T" si existe un β-modelo de T. Un teorema similar se cumple para los β _n -modelos para cualquier número natural.${\displaystyle n\geq 1}$. ^{[ 5 ]}

Los axiomas basados ​​en modelos β proporcionan una división más fina y natural de las fortalezas de los subsistemas de la aritmética de segundo orden, y también proporcionan una forma de formular principios de reflexión. Por ejemplo, sobre${\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}}$,${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}$es equivalente a la afirmación "para todo${\displaystyle X}$[de segundo orden], existe un modelo β numerable M tal que${\displaystyle X\in M}$. ^{[ 4 ] pág.  253} (Los ω-modelos contables están representados por sus conjuntos de enteros, y su satisfacción es formalizable en el lenguaje del análisis mediante una definición inductiva). Además, la teoría que extiende KP con un esquema de axioma canónico para un universo recursivamente Mahlo (a menudo llamado${\displaystyle KPM}$) ^{[ 6 ]} es lógicamente equivalente a la teoría Δ ¹ ₂ -CA+BI+(Toda fórmula Π ¹ ₃ verdadera es satisfecha por un modelo β de Δ ¹ ₂ -CA). ^{[ 7 ]}

Además,${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$demuestra una conexión entre los modelos β y el hipersalto: para todos los conjuntos${\displaystyle X}$de enteros,${\displaystyle X}$tiene un hipersalto si y solo si existe un modelo β contable${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle X\in M}$[ ^{4 ] pág .  251}

Todo modelo β de comprensión es elementalmente equivalente a un modelo ω que no es un modelo β. ^{[ 8 ]}

Se puede definir una noción de modelo β para modelos de teorías de conjuntos de segundo orden (como la teoría de conjuntos de Morse-Kelley ) como un modelo${\displaystyle (M,{\mathcal {X}})}$de tal manera que las relaciones de membresía de${\displaystyle (M,{\mathcal {X}})}$está bien fundamentado, y para cualquier relación${\displaystyle R\in {\mathcal {X}}}$,${\displaystyle (M,{\mathcal {X}})\vDash }$"${\displaystyle R}$está bien fundamentado" si${\displaystyle R}$De hecho, está bien fundamentado. Si bien no existe un modelo transitivo mínimo de MK, sí existe un modelo β mínimo de MK. ^{[ 9 ] págs.  17,154–156}