Triángulo de campana

En matemáticas , el triángulo de Bell es un triángulo de números análogo al triángulo de Pascal , cuyos valores cuentan las particiones de un conjunto en el que un elemento dado es el singleton más grande . Se llama así por su estrecha conexión con los números de Bell , ^[1] que se pueden encontrar en ambos lados del triángulo, y que a su vez reciben su nombre de Eric Temple Bell . El triángulo de Bell ha sido descubierto de forma independiente por varios autores, comenzando por Charles Sanders Peirce  (1880) e incluyendo también a Alexander Aitken  (1933) y Cohn et al. (1962), y por esa razón también se lo ha llamado matriz de Aitken o triángulo de Peirce . ^[2]

Distintas fuentes dan el mismo triángulo en diferentes orientaciones, algunas invertidas entre sí. ^[3] En un formato similar al del triángulo de Pascal, y en el orden que aparece en la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros (OEIS), sus primeras filas son: ^[2]

                    1
                 1 2
              2 3 5
           5 7 10 15
       15 20 27 37 52
    52 67 87 114 151 203
203 255 322 409 523 674 877

El triángulo de Bell se puede construir colocando el número 1 en su primera posición. Después de esa colocación, el valor más a la izquierda de cada fila del triángulo se llena copiando el valor más a la derecha de la fila anterior. Las posiciones restantes en cada fila se llenan mediante una regla muy similar a la del triángulo de Pascal : son la suma de los dos valores a la izquierda y arriba a la izquierda de la posición.

De esta forma, después de la colocación inicial del número 1 en la fila superior, es la última posición en su fila y se copia a la posición más a la izquierda en la siguiente fila. El tercer valor en el triángulo, 2, es la suma de los dos valores anteriores arriba a la izquierda y a la izquierda de este. Como último valor en su fila, el 2 se copia en la tercera fila y el proceso continúa de la misma manera.

Los números de Bell , en los lados izquierdo y derecho del triángulo, cuentan el número de formas de dividir un conjunto finito en subconjuntos, o equivalentemente el número de relaciones de equivalencia en el conjunto. Sun y Wu (2011) proporcionan la siguiente interpretación combinatoria de cada valor en el triángulo. Siguiendo a Sun y Wu, sea A _n,k el valor que está k posiciones desde la izquierda en la n ésima fila del triángulo, con la parte superior del triángulo numerada como A _1,1 . Entonces A _n,k cuenta el número de particiones del conjunto {1, 2, ...,  n  + 1} en las que el elemento k  + 1 es el único elemento de su conjunto y cada elemento de número superior está en un conjunto de más de un elemento. Es decir, k  + 1 debe ser el singleton más grande de la partición.

Por ejemplo, el número 3 en el medio de la tercera fila del triángulo se etiquetaría, en su notación, como A _3,2 y cuenta la cantidad de particiones de {1, 2, 3, 4} en las que 3 es el elemento singleton más grande. Hay tres particiones de este tipo:

{1}, {2, 4}, {3}

{1, 4}, {2}, {3}

{1, 2, 4}, {3}.

Las particiones restantes de estos cuatro elementos o bien no tienen 3 en un conjunto por sí mismas, o bien tienen un conjunto singleton más grande {4}, y en cualquier caso no se cuentan en A _3,2 .

En la misma notación, Sun y Wu (2011) aumentan el triángulo con otra diagonal a la izquierda de sus otros valores, de los números

A _{n ,0} = 1, 0, 1, 1, 4, 11, 41, 162, ...(secuencia A000296 en la OEIS )

Contar particiones del mismo conjunto de n  + 1 elementos en el que solo el primer elemento es un singleton. Su triángulo aumentado es ^[4]

                       1
                    0 1
                 1 1 2
              1 2 3 5
           4 5 7 10 15
       11 15 20 27 37 52
    41 52 67 87 114 151 203
162 203 255 322 409 523 674 877

Este triángulo se puede construir de forma similar a la versión original del triángulo de Bell, pero con una regla diferente para comenzar cada fila: el valor más a la izquierda en cada fila es la diferencia de los valores más a la derecha y más a la izquierda de la fila anterior.

Quaintance y Kwong (2013) ofrecen una interpretación alternativa pero más técnica de los números en el mismo triángulo aumentado.

Las diagonales más a la izquierda y más a la derecha del triángulo de Bell contienen la secuencia 1, 1, 2, 5, 15, 52, ... de los números de Bell (falta el elemento inicial en el caso de la diagonal más a la derecha). La siguiente diagonal paralela a la diagonal más a la derecha da la secuencia de diferencias de dos números de Bell consecutivos, 1, 3, 10, 37, ..., y cada diagonal paralela subsiguiente da la secuencia de diferencias de las diagonales anteriores.

De esta manera, como observó Aitken (1933), este triángulo puede interpretarse como la implementación de la fórmula de interpolación de Gregory-Newton , que encuentra los coeficientes de un polinomio a partir de la secuencia de sus valores en números enteros consecutivos mediante diferencias sucesivas. Esta fórmula se asemeja mucho a una relación de recurrencia que puede utilizarse para definir los números de Bell.

Las sumas de cada fila del triángulo, 1, 3, 10, 37, ..., son la misma secuencia de primeras diferencias que aparecen en la segunda diagonal desde la derecha del triángulo. ^[5] El n -ésimo número en esta secuencia también cuenta el número de particiones de n elementos en subconjuntos, donde uno de los subconjuntos se distingue de los demás; por ejemplo, hay 10 formas de particionar tres elementos en subconjuntos y luego elegir uno de los subconjuntos. ^[6]

Aigner (1999) describió un triángulo de números diferente, con los números de Bell en un solo lado y con cada número determinado como una suma ponderada de los números cercanos en la fila anterior.

• Aigner, Martin (1999), "Una caracterización de los números de Bell", Discrete Mathematics , 205 ( 1–3 ): 207–210 , doi : 10.1016/S0012-365X(99)00108-9 , MR  1703260.
• Aitken, AC (1933), "Un problema de combinaciones", Mathematical Notes , 28 : 18– 23, doi : 10.1017/S1757748900002334.
• Cohn, Martin; Even, Shimon ; Menger, Karl Jr .; Hooper, Philip K. (1962), "Notas matemáticas: sobre el número de particiones de un conjunto de n objetos distintos", American Mathematical Monthly , 69 (8): 782– 785, doi :10.2307/2310780, JSTOR  2310780, MR  1531841.
• Gardner, Martin (1978), "Las campanas: números versátiles que pueden contar particiones de un conjunto, primos e incluso rimas", Scientific American , 238 : 24– 30, Bibcode :1978SciAm.238e..24G, doi :10.1038/scientificamerican0578-24. Reimpreso con un apéndice como "The Tinkly Temple Bells", Capítulo 2 de Fractal Music, Hypercards y más... Recreaciones matemáticas de Scientific American , WH Freeman, 1992, págs. 24-38.
• Peirce, CS (1880), "Sobre el álgebra de la lógica", American Journal of Mathematics , 3 (1): 15– 57, doi :10.2307/2369442, JSTOR  2369442El triángulo está en la página 48.
• Quaintance, Jocelyn; Kwong, Harris (2013), "Una interpretación combinatoria de las tablas de diferencias de números de Catalan y Bell" (PDF) , Enteros , 13 : A29.
• Shallit, Jeffrey (1980), "Un triángulo para los números de Bell", Una colección de manuscritos relacionados con la secuencia de Fibonacci (PDF) , Santa Clara, California: Fibonacci Association, págs.  69-71 , MR  0624091.
• Sun, Yidong; Wu, Xiaojuan (2011), "Los singletons más grandes de particiones de conjuntos", European Journal of Combinatorics , 32 (3): 369– 382, ​​arXiv : 1007.1341 , doi :10.1016/j.ejc.2010.10.011, MR  2764800, S2CID  30627275.

• Weisstein, Eric W. "Triángulo de campana". MathWorld .