Subgrupo básico

En álgebra abstracta , un subgrupo básico es un subgrupo de un grupo abeliano que es una suma directa de subgrupos cíclicos y satisface otras condiciones técnicas. Esta noción fue introducida por L. Ya. Kulikov (para p -grupos ) y por László Fuchs (en general) en un intento de formular una teoría de clasificación de grupos abelianos infinitos que vaya más allá de los teoremas de Prüfer . Ayuda a reducir el problema de clasificación a la clasificación de posibles extensiones entre dos clases bien entendidas de grupos abelianos: sumas directas de grupos cíclicos y grupos divisibles .

Un subgrupo , B , de un grupo abeliano , A , se llama p -básico , para un número primo fijo , p , si se cumplen las siguientes condiciones:

1. B es una suma directa de grupos cíclicos de orden p ⁿ y grupos cíclicos infinitos;
2. B es un subgrupo p -de A ;
3. El grupo cociente, A / B , es un grupo p - divisible .

Las condiciones 1-3 implican que el subgrupo, B , es Hausdorff en la topología p -ádica de B , que además coincide con la topología inducida a partir de A , y que B es denso en A . Elegir un generador en cada sumando directo cíclico de B crea una p -base de B , que es análoga a una base de un espacio vectorial o un grupo abeliano libre .

Todo grupo abeliano, A , contiene p -subgrupos básicos para cada p , y cualesquiera 2 p -subgrupos básicos de A son isomorfos. Los grupos abelianos que contienen un único p -subgrupo básico han sido completamente caracterizados. Para el caso de p -grupos son divisibles o acotados ; es decir, tienen exponente acotado. En general, la clase de isomorfismo del cociente, A / B por un subgrupo básico, B , puede depender de B .

• László Fuchs (1970), Grupos abelianos infinitos, vol. I. Matemáticas puras y aplicadas, vol. 36. Nueva York-Londres: Academic Press MR 0255673
• L. Ya. Kulikov, Sobre la teoría de los grupos abelianos de cardinalidad arbitraria (en ruso), Mat. Sb., 16 (1945), 129–162
• Kurosh, AG (1960), La teoría de grupos , Nueva York: Chelsea, MR  0109842