Función G de Barnes

En matemáticas , la función G de Barnes${\displaystyle G(z)}$es una función que es una extensión de los superfactoriales a los números complejos . Está relacionada con la función gamma , la función K y la constante de Glaisher-Kinkelin , y recibió su nombre del matemático Ernest William Barnes . ^{[ 1 ]} Se puede escribir en términos de la función gamma doble .

Formalmente, la función G de Barnes se define en la siguiente forma de producto de Weierstrass : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

dónde${\displaystyle \,\gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni , exp ( x ) = e ^x es la función exponencial, y${\displaystyle \Pi }$denota multiplicación ( notación pi mayúscula ).

La representación integral, que puede deducirse de la relación con la función gamma doble , es

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {1-e^{-zt}}{4\sinh ^{2}{\frac {t}{2}}}}+{\frac {z^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {z}{t}}\right]}$

Como una función completa ,${\displaystyle G}$es de orden dos y de tipo infinito. Esto se puede deducir del desarrollo asintótico que se muestra a continuación.

La función G de Barnes satisface la ecuación funcional.

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}$

con normalización${\displaystyle G(1)=1}$Nótese la similitud entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la de la función gamma de Euler :

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).}$

La ecuación funcional implica que${\displaystyle G}$toma los siguientes valores en los argumentos enteros :

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{si }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{si }}n=1,2,\dots \end{cases}}}$

En particular,${\displaystyle G(0)=0,G(1)=1}$y${\displaystyle G(n)=sf(n-2)}$para${\displaystyle n\geq 1}$, dónde${\displaystyle sf}$es el superfactorial .

y por lo tanto

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

dónde${\displaystyle \,\Gamma (x)}$denota la función gamma y${\displaystyle K}$denota la función K. En general,$${\displaystyle K(z)G(z)=e^{(z-1)\ln \Gamma (z)}}$$para todos los complejos${\displaystyle z}$.

La ecuación funcional${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}$define de forma única la función G de Barnes si se cumple la condición de convexidad,

${\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}$

se añade. ^{[ 3 ]} Además, la función G de Barnes satisface la fórmula de duplicación, ^{[ 4 ]}

${\displaystyle G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac {1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G\left(2x\right)}$,

dónde${\displaystyle A}$es la constante de Glaisher-Kinkelin .

Similar al teorema de Bohr-Mollerup para la función gamma , para una constante${\displaystyle c>0}$tenemos para${\displaystyle f(x)=cG(x)}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle f(x+1)=\Gamma (x)f(x)}$

y para${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x+n)\sim \Gamma (x)^{n}n^{x \choose 2}f(n)}$

como${\displaystyle n\to \infty }$.

La ecuación de diferencias para la función G, junto con la ecuación funcional para la función gamma , se puede utilizar para obtener la siguiente fórmula de reflexión para la función G de Barnes (demostrada originalmente por Hermann Kinkelin ):

${\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}$

La integral logarítmica tangente del lado derecho se puede evaluar en términos de la función de Clausen (de orden 2) cuando${\displaystyle 0<z<1}$, como se muestra a continuación: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

La demostración de este resultado se basa en la siguiente evaluación de la integral de la cotangente: introduciendo la notación${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)}$para la integral log-cotangente, y utilizando el hecho de que${\displaystyle \,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x}$, una integración por partes da

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}}$

Realizando la sustitución integral${\displaystyle \,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )}$da

${\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.}$

La función de Clausen –de segundo orden– tiene la representación integral.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.}$

Sin embargo, dentro del intervalo${\displaystyle \,0<\theta <2\pi }$El signo de valor absoluto dentro del integrando puede omitirse, ya que dentro del rango la función "semiseno" en la integral es estrictamente positiva y estrictamente distinta de cero. Comparando esta definición con el resultado anterior para la integral logarítmica tangente, se cumple claramente la siguiente relación:

${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).}$

Así pues, tras una ligera reordenación de los términos, la demostración está completa:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Utilizando la relación${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$y dividiendo la fórmula de reflexión por un factor de${\displaystyle \,2\pi }$da la forma equivalente:

${\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Adamchik (2003) ha dado una forma equivalente de la fórmula de reflexión , pero con una demostración diferente. ^{[ 6 ]}

Reemplazar${\displaystyle z}$con${\displaystyle 1/2-z}$La fórmula de reflexión anterior da, tras cierta simplificación, la fórmula equivalente que se muestra a continuación.

(que involucran polinomios de Bernoulli ):

${\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}$

Según el teorema de Taylor y considerando las derivadas logarítmicas de la función de Barnes, se puede obtener el siguiente desarrollo en serie :

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}$

Es válido para${\displaystyle \,0<z<1}$. Aquí,${\displaystyle \,\zeta (x)}$es la función zeta de Riemann :

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Al exponenciar ambos lados de la expansión de Taylor se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}}$

Al comparar esto con la forma de producto de Weierstrass de la función de Barnes, se obtiene la siguiente relación:

${\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

Al igual que la función gamma, la función G también tiene una fórmula de multiplicación: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}$

dónde${\displaystyle K(n)}$es una constante dada por:

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

Aquí${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$es la derivada de la función zeta de Riemann y${\displaystyle A}$es la constante de Glaisher-Kinkelin .

Es cierto que${\displaystyle G({\overline {z}})={\overline {G(z)}}}$, de este modo${\displaystyle |G(z)|^{2}=G(z)G({\overline {z}})}$A partir de esta relación y mediante la forma de producto de Weierstrass presentada anteriormente, se puede demostrar que

${\displaystyle |G(x+iy)|=|G(x)|\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.}$

Esta relación es válida para arbitraria${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}}$, y${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$. Si${\displaystyle x=0}$, entonces la siguiente fórmula es válida en su lugar:

${\displaystyle |G(iy)|=y\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}}$

para un valor real arbitrario de y .

El logaritmo de G ( z + 1) tiene la siguiente expansión asintótica, según lo establecido por Barnes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}}$

Aquí el${\displaystyle B_{k}}$son los números de Bernoulli y${\displaystyle A}$es la constante de Glaisher-Kinkelin . (Nótese que, de forma algo confusa en la época de Barnes ^{[ 8 ]} , el número de Bernoulli${\displaystyle B_{2k}}$se habría escrito como${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$, pero esta convención ya no está vigente.) Esta expansión es válida para${\displaystyle z}$en cualquier sector que no contenga el eje real negativo con${\displaystyle |z|}$grande.

El log-gamma paramétrico se puede evaluar en términos de la función G de Barnes: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +(z-1)\log \Gamma (z)-\log G(z)}$

Tomar el logaritmo de ambos lados introduce el análogo de la función Digamma.${\displaystyle \psi (x)}$,

${\displaystyle \varphi (x)\equiv {\frac {d}{dx}}\log G(x),}$

donde ^{[ 2 ] [ 1 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \varphi (x)=(x-1)[\psi (x)-1]+\varphi (1),\quad \varphi (1)={\frac {\ln(2\pi )-1}{2}}}$

con la serie Taylor

${\displaystyle \varphi (x)=\varphi (1)-(\gamma +1)(x-1)+\sum _{k\geq 2}(-1)^{k}\zeta (k)(x-1)^{k}.}$

• Askey, RA; Roy, R. (2010), "Función G de Barnes" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .