Teorema de Ax-Kochen

El teorema de Ax-Kochen , que recibe su nombre de James Ax y Simon B. Kochen , establece que para cada entero positivo d existe un conjunto finito Y _d de números primos, tal que si p es cualquier primo que no pertenece a Y _d, entonces todo polinomio homogéneo de grado d sobre los números p-ádicos en al menos d ²  +  1 variables tiene una raíz no trivial. ^{[ 1 ]}

La demostración del teorema hace un uso extensivo de métodos de la lógica matemática , como la teoría de modelos .

Primero se demuestra el teorema de Serge Lang , que establece que el teorema análogo es verdadero para el cuerpo F _p (( t )) de series de Laurent formales sobre un cuerpo finito F _p con${\displaystyle Y_{d}=\varnothing }$. En otras palabras, todo polinomio homogéneo de grado d con más de d ² variables tiene una raíz no trivial (por lo que F _p (( t )) es un cuerpo C ₂ ).

Luego se demuestra que si dos campos valuados henselianos tienen grupos de valuación y campos residuales equivalentes, y los campos residuales tienen característica 0, entonces son elementalmente equivalentes (lo que significa que una sentencia de primer orden es verdadera para uno si y solo si es verdadera para el otro).

A continuación, se aplica esto a dos campos: uno dado por un ultraproducto sobre todos los primos de los campos F _p (( t )) y el otro dado por un ultraproducto sobre todos los primos de los campos p -ádicos Q _p . Ambos campos residuales están dados por un ultraproducto sobre los campos F _p , por lo que son isomorfos y tienen característica 0, y ambos grupos de valores son iguales, por lo que los ultraproductos son elementalmente equivalentes. (El uso de ultraproductos se emplea para forzar que el campo residual tenga característica 0; los campos residuales de F _p (( t )) y Q _p tienen característica p distinta de cero ).

La equivalencia elemental de estos ultraproductos implica que para cualquier enunciado en el lenguaje de los cuerpos valuados, existe un conjunto finito Y de primos excepcionales, tal que para cualquier p que no pertenezca a este conjunto, el enunciado es verdadero para F _p (( t )) si y solo si es verdadero para el cuerpo de los números p -ádicos. Aplicando esto al enunciado que afirma que todo polinomio homogéneo no constante de grado d en al menos d ² +1 variables representa 0, y utilizando el teorema de Lang, se obtiene el teorema de Ax-Kochen.

Jan Denef encontró una demostración puramente geométrica para una conjetura de Jean-Louis Colliot-Thélène que generaliza el teorema de Ax-Kochen. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Emil Artin conjeturó este teorema con el conjunto excepcional finito Y _d vacío (es decir, que todos los cuerpos p -ádicos son C ₂ ), pero Guy Terjanian ^{[ 4 ]} encontró el siguiente contraejemplo 2-ádico para d  =  4. Definir

${\displaystyle G(x)=G(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum x_{i}^{4}-\sum _{i\,<\,j}x_{i}^{2}x_{j}^{2}-x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}).}$

Entonces G tiene la propiedad de que es 1 mod 4 si algún x es impar, y 0 mod 16 en caso contrario. De esto se deduce fácilmente que la forma homogénea

G ( x ) + G ( y ) + G ( z ) + 4 G ( u ) + 4 G ( v ) + 4 G ( w )

de grado d  =  4 en 18  > d ² variables no tiene ceros no triviales sobre los enteros 2-ádicos. 

Más tarde Terjanian ^{[ 5 ]} demostró que para cada primo p y múltiplo d  >  2 de p ( p  −  1 ), existe una forma sobre los números p -ádicos de grado d con más de d ² variables pero sin ceros no triviales. En otras palabras, para todo d  >  2, Y _d contiene todos los primos p tales que p ( p  −  1) divide a d .

Brown (1978) proporcionó una cota explícita, aunque muy grande, para el conjunto excepcional de números primos p . Si el grado d es 1, 2 o 3, el conjunto excepcional está vacío. Heath-Brown (2010) demostró que si d = 5, el conjunto excepcional está acotado por 13, y Wooley (2008) demostró que para d = 7, el conjunto excepcional está acotado por 883 y para d = 11, por 8053.       

• Teorema de Brauer sobre las formas
• Cierre cuasi-algebraico

• Brown, Scott Shorey (1978), "Límites en los principios de transferencia para cuerpos discretamente valuados algebraicamente cerrados y completos" , Memoirs of the American Mathematical Society , vol.  15, doi : 10.1090/memo/0204 , ISBN 978-0-8218-2204-3ISSN 0065-9266 , MR 0494980​  
• Chang, CC ; Keisler, H. Jerome (1989). Teoría de modelos (tercera  ed.). Elsevier . ISBN 978-0-7204-0692-4.(Corolario 5.4.19)
• Heath-Brown, DR (2010), "Ceros de formas p-ádicas", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera Serie, 100 (2): 560– 584, arXiv : 0805.0534 , doi : 10.1112/plms/pdp043 , ISSN 0024-6115 , MR 2595750 , S2CID 6594042   
• Wooley, Trevor D. (2008), "La conjetura de Artin para las formas sépticas y unídecs", Acta Arithmetica , 133 (1): 25–35 , Bibcode : 2008AcAri.133...25W , doi : 10.4064/aa133-1-2 , ISSN 0065-1036 , MR 2413363