Asortatividad

La asortatividad , o mezcla selectiva , es la preferencia de los nodos de una red por unirse a otros que son similares de alguna manera. Aunque la medida específica de similitud puede variar, los teóricos de redes a menudo examinan la asortatividad en términos del grado de un nodo . ^[1] La adición de esta característica a los modelos de red se aproxima más a los comportamientos de muchas redes del mundo real.

Las correlaciones entre nodos de grado similar se encuentran a menudo en los patrones de mezcla de muchas redes observables. Por ejemplo, en las redes sociales , los nodos tienden a estar conectados con otros nodos con valores de grado similares. Esta tendencia se conoce como mezcla selectiva o asortatividad . Por otro lado, las redes tecnológicas y biológicas suelen mostrar una mezcla disasortativa o disasortatividad , ya que los nodos de alto grado tienden a unirse a nodos de bajo grado. ^[2]

La asortatividad suele operacionalizarse como una correlación entre dos nodos. Sin embargo, existen varias formas de capturar dicha correlación. Las dos medidas más destacadas son el coeficiente de asortatividad y la conectividad vecinal . Estas medidas se describen con más detalle a continuación.

El coeficiente de asortatividad es el coeficiente de correlación de Pearson de grado entre pares de nodos vinculados. ^[2] Los valores positivos de r indican una correlación entre nodos de grado similar, mientras que los valores negativos indican relaciones entre nodos de diferente grado. En general, r se encuentra entre −1 y 1. Cuando r = 1, se dice que la red tiene patrones de mezcla asortativa perfectos, cuando r = 0 la red no es asortativa, mientras que en r = −1 la red es completamente disasortativa.

El coeficiente de asortatividad se da por . El término es la distribución del grado restante . Esto captura el número de aristas que salen del nodo, distintas de la que conecta el par. La distribución de este término se deriva de la distribución de grados como . Finalmente, se refiere a la distribución de probabilidad conjunta de los grados restantes de los dos vértices. Esta cantidad es simétrica en un grafo no dirigido y sigue las reglas de la suma y . ${\displaystyle r={\frac {\sum _{jk}{jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})}}{\sigma _{q}^{2}}}}$${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle q_{k}={\frac {(k+1)p_{k+1}}{\sum _{j\geq 1}jp_{j}}}}$${\displaystyle e_{jk}}$${\displaystyle \sum _{jk}{e_{jk}}=1\,}$${\displaystyle \sum _{j}{e_{jk}}=q_{k}\,}$

En un grafo dirigido, la in-asortatividad ( ) y la out-asortatividad ( ) miden las tendencias de los nodos a conectarse con otros nodos que tienen grados de entrada y salida similares a ellos, respectivamente. ^[4] Extendiendo esto más, se pueden considerar cuatro tipos de asortatividad (ver ^[5] ). Adoptando la notación de ese artículo, es posible definir cuatro métricas , , , y . Sea , uno de los pares de palabras de entrada / salida (por ejemplo ). Sea el número de aristas en la red. Supongamos que etiquetamos las aristas de la red . Dado borde , sea el grado del vértice del nodo fuente (es decir, cola ) del borde, y sea el grado del nodo objetivo (es decir, cabeza ) del borde . Indicamos los valores promedio con barras, de modo que , y son el grado promedio de las fuentes y el grado de los objetivos, respectivamente; los promedios se toman sobre los bordes de la red. Finalmente, tenemos ${\displaystyle r({\text{in}},{\text{in}})}$${\displaystyle r({\text{out}},{\text{out}})}$${\displaystyle r({\text{in}},{\text{in}})}$${\displaystyle r({\text{in}},{\text{out}})}$${\displaystyle r({\text{out}},{\text{in}})}$${\displaystyle r({\text{out}},{\text{out}})}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )=({\text{out}},{\text{in}})}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 1,\ldots ,E}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j_{i}^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k_{i}^{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\bar {j^{\alpha }}}}$${\displaystyle {\bar {k^{\beta }}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle r(\alpha ,\beta )={\frac {\sum _{i}(j_{i}^{\alpha }-{\bar {j^{\alpha }}})(k_{i}^{\beta }-{\bar {k^{\beta }}})}{{\sqrt {\sum _{i}(j_{i}^{\alpha }-{\bar {j^{\alpha }}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i}(k_{i}^{\beta }-{\bar {k^{\beta }}})^{2}}}}}.}$

Otro medio para capturar la correlación de grado es examinando las propiedades de , o el grado promedio de los vecinos de un nodo con grado k . ^[6] Este término se define formalmente como: , donde es la probabilidad condicional de que un borde de un nodo con grado k apunte a un nodo con grado k' . Si esta función es creciente, la red es asortativa, ya que muestra que los nodos de alto grado se conectan, en promedio, a nodos de alto grado. Alternativamente, si la función es decreciente, la red es desassortativa, ya que los nodos de alto grado tienden a conectarse a nodos de menor grado. La función se puede trazar en un gráfico (ver Figura 2) para representar la tendencia general de asortatividad para una red. ${\displaystyle \langle k_{nn}\rangle }$${\displaystyle \langle k_{nn}\rangle =\sum _{k'}{k'P(k'|k)}}$${\displaystyle P(k'|k)}$

En redes asortativas, puede haber nodos que sean disasortativos y viceversa. Se requiere una medida asortativa local ^[7] para identificar tales anomalías dentro de las redes. La asortatividad local se define como la contribución que cada nodo hace a la asortatividad de la red. La asortatividad local en redes no dirigidas se define como,

${\displaystyle \rho ={\frac {j\ \left(j+1\right)\left({\overline {k}}-\ {\mu }_{q}\right)}{2M{\sigma }_{q}^{2}}}}$

Donde es el grado de exceso de un nodo particular y es el grado de exceso promedio de sus vecinos y M es el número de enlaces en la red. ${\displaystyle j}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

Respectivamente, la asortatividad local para redes dirigidas ^[4] es la contribución de un nodo a la asortatividad dirigida de una red. La contribución de un nodo a la asortatividad de una red dirigida se define como, ${\displaystyle r_{d}}$${\displaystyle {\rho }_{d}=\ {\frac {{j_{out}}^{2}\left({\overline {k}}_{in}-\ {\mu }_{q}^{in}\right)+\ {j_{in}}^{2}\left({\overline {k}}_{out}-\ {\mu }_{q}^{out}\right)}{2\ M{\sigma }_{q}^{in}{\sigma }_{q}^{out}}}}$

Donde es el grado de salida del nodo bajo consideración y es el grado de entrada, es el grado de entrada promedio de sus vecinos (con respecto al cual el nodo } tiene una arista) y es el grado de salida promedio de sus vecinos (con respecto al cual el nodo tiene una arista). , . ${\displaystyle j_{out}}$${\displaystyle j_{in}}$${\displaystyle {\overline {k}}_{in}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\overline {k}}_{out}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\sigma }_{q}^{in}\ \neq 0}$${\displaystyle \ {\ \sigma }_{q}^{out}\ \neq 0}$

Al incluir los términos de escala y , garantizamos que la ecuación de asortatividad local para una red dirigida satisface la condición . ${\displaystyle {\sigma }_{q}^{in}}$${\displaystyle {\ \sigma }_{q}^{out}}$${\displaystyle r_{d}=\ \sum _{i=1}^{N}{{\rho }_{d}}}$

Además, dependiendo de si se considera la distribución de grado de entrada o de grado de salida, es posible definir la asortatividad de entrada local y la asortatividad de salida local como las respectivas medidas de asortatividad local en una red dirigida. ^[4]

Se han examinado los patrones de asortación de una variedad de redes del mundo real. Por ejemplo, la figura 3 muestra los valores de r para una variedad de redes. Nótese que las redes sociales (las primeras cinco entradas) tienen una aparente mezcla de asortación. Por otro lado, las redes tecnológicas y biológicas (las seis entradas del medio) parecen ser todas disassortativas. Se ha sugerido que esto se debe a que la mayoría de las redes tienen una tendencia a evolucionar, a menos que se las restrinja de otra manera, hacia su estado de máxima entropía, que generalmente es disassortativo. ^[8]

La tabla también tiene el valor de r calculado analíticamente para dos modelos de redes:

1. el gráfico aleatorio de Erdős y Rényi
2. Modelo BA (modelo Barabási-Albert)

En el modelo ER, dado que las aristas se colocan al azar sin tener en cuenta el grado del vértice, se deduce que r = 0 en el límite de un tamaño de gráfico grande. El modelo BA sin escala también mantiene esta propiedad. Para el modelo BA en el caso especial de m = 1 (donde cada nodo entrante se conecta a solo uno de los nodos existentes con una probabilidad proporcional al grado), se conoce un resultado más preciso: como (el número de vértices) tiende a infinito, r se acerca a 0 a la misma velocidad que . ^[2]${\displaystyle N}$${\displaystyle (\log ^{2}N)/N}$

Las propiedades de la asortatividad son útiles en el campo de la epidemiología, ya que pueden ayudar a comprender la propagación de enfermedades o curas. Por ejemplo, la eliminación de una parte de los vértices de una red puede corresponder a la curación, vacunación o cuarentena de individuos o células. Dado que las redes sociales demuestran una mezcla asortativa, es probable que las enfermedades que afectan a individuos de alto grado se propaguen a otros nodos de alto grado. Alternativamente, dentro de la red celular (que, como red biológica, es probablemente dissortativa), las estrategias de vacunación que se dirigen específicamente a los vértices de alto grado pueden destruir rápidamente la red epidémica.

La estructura básica de una red puede hacer que estas medidas muestren una disasortatividad que no es representativa de ninguna mezcla disasortativa o asortativa subyacente. Se debe tener especial cuidado para evitar esta disasortatividad estructural.

• Mezcla selectiva
• Apego preferencial
• Homofilia
• Corte estructural
• Coeficiente del club de los ricos