Arg máximo

En matemáticas , los argumentos de los máximos (abreviados arg max o argmax ) y los argumentos de los mínimos (abreviados arg min o argmin ) son los puntos de entrada en los que el valor de salida de una función se maximiza y se minimiza , respectivamente. ^{[ nota 1 ]} Mientras que los argumentos se definen sobre el dominio de una función , la salida es parte de su codominio .

Dado un conjunto arbitrario${\displaystyle X}$, un conjunto totalmente ordenado${\displaystyle Y}$y una función,${\displaystyle f\colon X\to Y}$, el${\displaystyle \operatorname {argmax} }$sobre algún subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle X}$se define por

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

Si${\displaystyle S=X}$o${\displaystyle S}$Queda claro por el contexto, entonces${\displaystyle S}$a menudo se omite, como en${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in X\}.}$En otras palabras,${\displaystyle \operatorname {argmax} }$es el conjunto de puntos${\displaystyle x}$para qué${\displaystyle f(x)}$alcanza el valor máximo de la función (si existe).${\displaystyle \operatorname {Argmax} }$puede ser el conjunto vacío , un conjunto unitario o contener múltiples elementos.

En los campos del análisis convexo y el análisis variacional , se utiliza una definición ligeramente diferente en el caso especial donde${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$son los números reales extendidos . ^{[ 2 ]} En este caso, si${\displaystyle f}$es idénticamente igual a${\displaystyle \infty }$en${\displaystyle S}$entonces${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing }$(eso es,${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty$ :=\varnothing } ) y de lo contrario${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$se define como arriba, donde en este caso${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$También se puede escribir como:

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}}$

donde se enfatiza que esta igualdad implica${\displaystyle \sup {}_{S}f}$se cumple solo cuando${\displaystyle f}$no es idéntica${\displaystyle \infty }$en${\displaystyle S}$. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, si${\displaystyle f(x)}$es${\displaystyle 1-|x|,}$entonces${\displaystyle f}$alcanza su valor máximo de${\displaystyle 1}$solo en el punto${\displaystyle x=0.}$De este modo

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}$

El${\displaystyle \operatorname {argmax} }$El operador es diferente del${\displaystyle \max }$operador. El${\displaystyle \max }$El operador, cuando se le da la misma función, devuelve el valor máximo de la función en lugar del punto o puntos que hacen que esa función alcance ese valor; en otras palabras

${\displaystyle \max _{x}f(x)}$es el elemento en${\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

Como${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$max puede ser el conjunto vacío (en cuyo caso el máximo no está definido) o un conjunto único, pero a diferencia de${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$${\displaystyle \operatorname {max} }$no puede contener múltiples elementos: ^{[ nota 2 ]} por ejemplo, si${\displaystyle f(x)}$es${\displaystyle 4x^{2}-x^{4},}$entonces${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}$pero${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$porque la función alcanza el mismo valor en cada elemento de${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

De forma equivalente, si${\displaystyle M}$es el máximo de${\displaystyle f,}$entonces el${\displaystyle \operatorname {argmax} }$es el conjunto de nivel del máximo:

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}$

Podemos reorganizarlo para obtener la identidad simple ^{[ nota 3 ]}

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}$

Si el máximo se alcanza en un solo punto, entonces a este punto se le suele llamar el${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$y${\displaystyle \operatorname {argmax} }$se considera un punto, no un conjunto de puntos. Por lo tanto, por ejemplo,

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

(en lugar del conjunto unitario${\displaystyle \{5\}}$), ya que el valor máximo de${\displaystyle x(10-x)}$es${\displaystyle 25,}$lo cual ocurre para${\displaystyle x=5.}$^{[ nota 4 ]} Sin embargo, en caso de que se alcance el máximo en muchos puntos,${\displaystyle \operatorname {argmax} }$debe considerarse un conjunto de puntos.

Por ejemplo

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$

porque el valor máximo de${\displaystyle \cos x}$es${\displaystyle 1,}$que ocurre en este intervalo para${\displaystyle x=0,2\pi }$o${\displaystyle 4\pi .}$ En toda la línea real

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}$por lo tanto, un conjunto infinito .

Las funciones no necesitan, en general, alcanzar un valor máximo y, por lo tanto,${\displaystyle \operatorname {argmax} }$a veces es el conjunto vacío ; por ejemplo,${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,}$desde${\displaystyle x^{3}}$no está acotada en la recta real . Como otro ejemplo,${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,}$a pesar de${\displaystyle \arctan }$está delimitado por${\displaystyle \pm \pi /2.}$Sin embargo, por el teorema del valor extremo , una función continua de valor real en un intervalo cerrado tiene un máximo y, por lo tanto, un intervalo no vacío.${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

• Argumento de una función
• Máximos y mínimos
• Moda (estadística)
• Optimización matemática
• Núcleo (álgebra lineal)
• Preimage
• Función Softmax

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol.  317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313OCLC 883392544​​ 

• arg min y arg max en PlanetMath .