Secuencia de apelación

En matemáticas , una sucesión de Appell , llamada así en honor a Paul Émile Appell , es cualquier sucesión de polinomios.${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }}$satisfaciendo la identidad

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

y en el cual${\displaystyle p_{0}(x)}$es una constante distinta de cero.

Entre las secuencias de Appell más notables, además del ejemplo trivial${\displaystyle \{x^{n}\}}$son los polinomios de Hermite , los polinomios de Bernoulli y los polinomios de Euler . Toda sucesión de Appell es una sucesión de Sheffer , pero la mayoría de las sucesiones de Sheffer no son sucesiones de Appell. Las sucesiones de Appell tienen una interpretación probabilística como sistemas de momentos .

Se puede comprobar fácilmente que las siguientes condiciones sobre secuencias de polinomios son equivalentes:

• Para${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}$

y${\displaystyle p_{0}(x)}$es una constante distinta de cero;

• Para alguna secuencia${\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$de escalares con${\displaystyle c_{0}\neq 0}$,

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _ {k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{nk};}$

• Para la misma secuencia de escalares,

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

dónde

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}$

• Para${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$,

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{nk}.}$

Suponer

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}$

donde la última igualdad se toma para definir el operador lineal${\displaystyle S}$en el espacio de polinomios en${\displaystyle x}$. Dejar

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}$

sea ​​el operador inverso, los coeficientes${\displaystyle a_{k}}$siendo aquellos del recíproco usual de una serie de potencias formal , de modo que

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$

En las convenciones del cálculo umbral , a menudo se trata esta serie de potencias formal.${\displaystyle T}$como representación de la secuencia de Appell${\displaystyle p_{n}}$. Se puede definir

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}$

mediante el uso del desarrollo en serie de potencias habitual de la${\displaystyle \log(x)}$y la definición habitual de composición de series de potencias formales. Entonces tenemos

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$

(Esta diferenciación formal de una serie de potencias en el operador diferencial${\displaystyle D}$es un ejemplo de diferenciación de Pincherle .

En el caso de los polinomios de Hermite , esto se reduce a la fórmula de recursión convencional para esa secuencia.

El conjunto de todas las sucesiones de Appell es cerrado bajo la operación de composición umbral de sucesiones polinómicas, definida como sigue. Supongamos que${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$y${\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}$son secuencias polinómicas, dadas por

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ y }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

Luego la composición umbral${\displaystyle p\circ q}$es la secuencia polinómica cuyo${\displaystyle n}$el término es

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$

(el subíndice${\displaystyle n}$aparece en${\displaystyle p_{n}}$, puesto que este es el${\displaystyle n}$el término -ésimo de esa secuencia, pero no en${\displaystyle q}$(ya que esto se refiere a la secuencia en su conjunto y no a uno de sus términos).

Bajo esta operación, el conjunto de todas las secuencias de Sheffer es un grupo no abeliano , pero el conjunto de todas las secuencias de Appell es un subgrupo abeliano . Que es abeliano se puede ver considerando el hecho de que toda secuencia de Appell es de la forma

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}$

y que la composición umbral de las secuencias de Appell corresponde a la multiplicación de estas series de potencias formales en el operador${\displaystyle D}$.

Otra convención seguida por algunos autores (véase Chihara ) define este concepto de una manera diferente, en conflicto con la definición original de Appell, al utilizar la identidad

${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)}$

en cambio.

La enorme clase de polinomios de Appell se puede obtener en términos de la función hipergeométrica generalizada .

Dejar${\displaystyle \Delta (k,-n)}$denotan la matriz de${\displaystyle k}$proporciones

${\displaystyle -{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .}$

Consideremos el polinomio ${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} }$

dónde${\displaystyle {}_{k+p}F_{q}}$es la función hipergeométrica generalizada.

Teorema. La familia de polinomios${\displaystyle \{A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)\}}$es la secuencia de Appell para cualquier parámetro natural${\displaystyle a,b,p,q,m,k}$.

Por ejemplo, si${\displaystyle p=0,q=0,}$${\displaystyle k=m,}$${\displaystyle m=(-1)^{k}h{k^{k}}}$luego los polinomios${\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)}$se convierten en los polinomios de Gould-Hopper${\displaystyle g_{n}^{m}(x,h)}$y si${\displaystyle p=0,q=0,m=-2,k=2}$se convierten en los polinomios de Hermite${\displaystyle H_{n}(x)}$.

• secuencia de Sheffer
• Cálculo umbral
• Polinomios de Appell generalizados
• Producto Wick

• Appell, Paul (1880). "Sur una clase de polinomios" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2ª Serie. 9 : 119–144 . doi : 10.24033/asens.186 .
• Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). "El cálculo umbral" . Advances in Mathematics . 27 (2): 95– 188. doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 ..
• Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). "Cálculo de operadores finitos" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 685– 760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Reimpreso en el libro del mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.
• Steven Roman. El cálculo umbral . Publicaciones Dover .
• Theodore Seio Chihara (1978). Introducción a los polinomios ortogonales . Gordon and Breach, Nueva York. ISBN 978-0-677-04150-6.
• Bedratyuk, L.; Luno, N. (2020). "Algunas propiedades de los polinomios hipergeométricos generalizados de Appell". Carpathian Math. Publ . 12 (1): 129– 137. arXiv : 2005.01676 . doi : 10.15330/cmp.12.1.129-137 .

• "Polinomios de Appell" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Secuencia de Apelaciones en MathWorld