Relación de separación

En matemáticas constructivas , una relación de separación es una forma constructiva de desigualdad y, a menudo, se considera más básica que la igualdad .

Una relación de separación a menudo se escribe como${\displaystyle \#}$para distinguir de la negación de la igualdad (la negación de la desigualdad ), que es más débil. En la literatura, el símbolo${\displaystyle \neq }$Se ha comprobado que se utiliza para cualquiera de estos dos fines.

Una relación binaria${\displaystyle \#}$es una relación de separación si satisface: ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle \neg (x\#x)}$
2. ${\displaystyle x\#y\;\to \;y\#x}$
3. ${\displaystyle x\#y\;\to \;(x\#z\;\vee \;y\#z)}$

Así pues, una relación de separación es una relación binaria irreflexiva simétrica con la condición adicional de que si dos elementos están separados, entonces cualquier otro elemento está separado de al menos uno de ellos. Esta última propiedad se suele denominar cotransitividad o comparación .

El complemento de una relación de separación es una relación de equivalencia , ya que las tres condiciones anteriores se convierten en reflexividad , simetría y transitividad . Si esta relación de equivalencia es de hecho igualdad, entonces la relación de separación se llama estrecha . Es decir,${\displaystyle \#}$es unrelación de separación estrecha si además cumple:

4.${\displaystyle \neg (x\#y)\;\to \;x=y.}$

En matemáticas clásicas , se deduce que toda relación de separación es el complemento de una relación de equivalencia, y la única relación de separación estricta en un conjunto dado es el complemento de la igualdad. Por lo tanto, en ese ámbito, el concepto no resulta útil. Sin embargo, en matemáticas constructivas, esto no es así.

La relación de separación prototípica es la de los números reales: se dice que dos números reales están separados si existe (se puede construir) un número racional entre ellos. En otras palabras, los números reales${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$están separados si existe un número racional${\displaystyle z}$de tal manera que${\displaystyle x<z<y}$o${\displaystyle y<z<x.}$La relación de separación natural de los números reales es, por tanto, la disyunción de su pseudoorden natural . Los números complejos , los espacios vectoriales reales y, de hecho, cualquier espacio métrico , heredan naturalmente la relación de separación de los números reales, aunque no posean ningún orden natural.

Si no existe ningún número racional entre dos números reales, entonces son iguales. Clásicamente, si dos números reales no son iguales, se concluiría que existe un número racional entre ellos. Sin embargo, esto no implica que se pueda construir dicho número. Por lo tanto, afirmar que dos números reales están separados es una afirmación más fuerte, desde un punto de vista constructivo, que decir que no son iguales. Si bien la igualdad de los números reales se define en términos de su separación, la separación de los números reales no se puede definir en términos de su igualdad. Por esta razón, especialmente en topología constructiva , la relación de separación sobre un conjunto se suele considerar primitiva, mientras que la igualdad es una relación definida.

Un conjunto dotado de una relación de separación se conoce como un setoide constructivo . Una función${\displaystyle f:A\to B}$entre tales setoides${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$puede llamarse un morfismo para${\displaystyle \#_{A}}$y${\displaystyle \#_{B}}$si se cumple la propiedad de extensionalidad fuerte

${\displaystyle \forall (x,\,y\colon A).\,f(x)\;\#_{B}\;f(y)\to x\;\#_{A}\;y.}$

Esto debe compararse con la propiedad de extensionalidad de las funciones, es decir, que las funciones preservan la igualdad. De hecho, para la desigualdad de negación definida en la teoría de conjuntos común, la primera representa la contrapositiva de la segunda.

• Clase de equivalencia – Concepto matemático