Distancia angular

La distancia angular o separación angular es la medida del ángulo entre la orientación de dos líneas rectas , rayos o vectores —generalmente en el espacio tridimensional— o el ángulo central subtendido por los radios que pasan por dos puntos de una esfera . Cuando los rayos son líneas de visión desde un observador hacia dos puntos en el espacio, se conoce como distancia aparente o separación aparente .

La distancia angular aparece en matemáticas (en particular en geometría y trigonometría ) y en todas las ciencias naturales (por ejemplo, cinemática , astronomía y geofísica ). En la mecánica clásica de objetos en rotación, aparece junto con la velocidad angular , la aceleración angular , el momento angular , el momento de inercia y el torque .

Medición

La separación angular se mide utilizando unidades angulares como grados o radianes , mediante instrumentos como goniómetros o instrumentos ópticos diseñados específicamente para apuntar en direcciones bien definidas y registrar los ángulos correspondientes (como los telescopios ).

Coordenadas celestes

{\displaystyle \theta } — Separación angular $\theta$ entre los puntos A y B vistos desde O

Para deducir la ecuación que describe la separación angular de dos puntos situados en la superficie de una esfera, vista desde el centro de la esfera, utilizamos el ejemplo de dos objetos astronómicos. $A$ y $B$ observados desde la Tierra. Los objetos $A$ y $B$ se definen por sus coordenadas celestes , es decir, sus ascensiones rectas (AR) , $(\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]$ ; y declinaciones (dec) , $(\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]$ . Dejar $O$ indican al observador en la Tierra, que se supone ubicado en el centro de la esfera celeste . El producto escalar de los vectores $\mathbf {OA}$ y $\mathbf {OB}$ es igual a:

\mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta

lo cual es equivalente a:

\mathbf {n_ {A}} \cdot \mathbf {n_ {B}} =\cos \theta

En el $(x,y,z)$ En el marco, los dos vectores unitarios se descomponen en: $\mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad y\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.$ Por lo tanto, $\mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta$ entonces:

\theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]

aproximación de distancia angular pequeña

La expresión anterior es válida para cualquier posición de A y B en la esfera. En astronomía, a menudo sucede que los objetos considerados están realmente cerca en el cielo: estrellas en el campo de visión de un telescopio, estrellas binarias, los satélites de los planetas gigantes del Sistema Solar , etc. En el caso donde $\theta \ll 1$ radián, lo que implica $\alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1$ y $\delta _{A}-\delta _{B}\ll 1$ Podemos desarrollar la expresión anterior y simplificarla. En la aproximación de ángulo pequeño , en segundo orden, la expresión anterior se convierte en:

\cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]

significado

1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}

por eso

1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}

.

Dado que $\delta _{A}-\delta _{B}\ll 1$ y $\alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1$ , en un desarrollo de segundo orden resulta que $\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}$ , de modo que

\theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}

Pequeña distancia angular: aproximación planar

Si consideramos un detector que forma imágenes de un pequeño campo del cielo (dimensión mucho menor que un radián) con el $y$ -eje apuntando hacia arriba, paralelo al meridiano de ascensión recta $\alpha$ y el $x$ -eje a lo largo del paralelo de declinación $\delta$ La separación angular se puede escribir como:

\theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}

dónde $\delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}$ y $\delta y=\delta _{A}-\delta _{B}$ .

Tenga en cuenta que el $y$ El eje -es igual a la declinación, mientras que el $x$ El eje -es la ascensión recta modulada por $\cos \delta _{A}$ porque la sección de una esfera de radio $R$ en declinación (latitud) $\delta$ es $R'=R\cos \delta _{A}$ (véase la figura).