Número cuántico azimutal

En mecánica cuántica , el número cuántico azimutal ℓ es un número cuántico para un orbital atómico que determina su momento angular orbital y describe aspectos de la forma angular del orbital. El número cuántico azimutal es el segundo de un conjunto de números cuánticos que describen el estado cuántico único de un electrón (los otros son el número cuántico principal n , el número cuántico magnético m _ℓ y el número cuántico de espín m _s ).

Para un valor dado del número cuántico principal n ( capa electrónica ), los posibles valores de ℓ son los enteros de 0 a n − 1. Por ejemplo, la capa n = 1  solo tiene orbitales con${\displaystyle \ell =0}$y la capa n = 2  solo tiene orbitales con${\displaystyle \ell =0}$, y${\displaystyle \ell =1}$.

Para un valor dado del número cuántico azimutal ℓ , los posibles valores del número cuántico magnético m _ℓ son los enteros desde m _ℓ =−ℓ hasta m _ℓ =+ℓ , incluyendo el 0. Además, el número cuántico de espín m _s puede tomar dos valores distintos. El conjunto de orbitales asociados con un valor particular de ℓ se denomina a veces colectivamente subcapa . 

Si bien originalmente se utilizaban solo para átomos aislados, los orbitales atómicos desempeñan un papel fundamental en la configuración electrónica de compuestos como gases, líquidos y sólidos. El número cuántico ℓ es crucial en este caso debido a su relación con la dependencia angular de los armónicos esféricos de los diferentes orbitales alrededor de cada átomo.

El término "número cuántico azimutal" fue introducido por Arnold Sommerfeld en 1915 ^{[ 1 ] : II:132} como parte de una descripción ad hoc de la estructura energética de los espectros atómicos. Solo más tarde, con el modelo cuántico del átomo, se comprendió que este número, ℓ , surge de la cuantización del momento angular orbital. Algunos libros de texto ^{[ 2 ] : 199} y la norma ISO 80000-10:2019 ^{[ 3 ]} llaman a ℓ el número cuántico de momento angular orbital .

Los niveles de energía de un átomo en un campo magnético externo dependen del valor m _ℓ, por lo que a veces se le denomina número cuántico magnético. ^{[ 4 ] : 240}

La letra minúscula ℓ se utiliza para denotar el momento angular orbital de una sola partícula. Para un sistema con múltiples partículas, se utiliza la letra mayúscula L. ^{[ 3 ]}

Hay cuatro números cuánticos — n , ℓ , m _ℓ , m _s — relacionados con los estados de energía de los electrones de un átomo aislado. Estos cuatro números especifican el estado cuántico único y completo de cualquier electrón individual en el átomo , y se combinan para componer la función de onda u orbital del electrón .

Al resolver la ecuación de Schrödinger para obtener la función de onda, esta se descompone en tres ecuaciones que dan lugar a los tres primeros números cuánticos, lo que indica que las tres ecuaciones están interrelacionadas. El número cuántico azimutal surge al resolver la parte polar de la ecuación de onda , utilizando el sistema de coordenadas esféricas , que generalmente funciona mejor con modelos que poseen suficientes aspectos de simetría esférica .

El momento angular de un electrón, L , está relacionado con su número cuántico ℓ mediante la siguiente ecuación:

$${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\Psi ,}$$

donde ħ es la constante de Planck reducida , L es el operador de momento angular orbital y${\displaystyle \Psi }$es la función de onda del electrón. El número cuántico ℓ es siempre un entero no negativo: 0, 1, 2, 3, etc. (Cabe destacar que L no tiene un significado real excepto en su uso como operador de momento angular; por lo tanto, es práctica habitual utilizar el número cuántico ℓ al referirse al momento angular).

Los orbitales atómicos tienen formas distintivas (véase el gráfico superior), en las que las letras s , p , d , f , etc. (siguiendo una convención originada en la espectroscopia ) denotan la forma del orbital atómico. Las funciones de onda de estos orbitales adoptan la forma de armónicos esféricos y, por lo tanto, se describen mediante polinomios de Legendre . Los distintos orbitales relacionados con los diferentes valores (enteros) de ℓ se denominan a veces subcapas —representadas por letras latinas minúsculas elegidas por razones históricas— como se muestra en la tabla "Subcapas cuánticas para el número cuántico azimutal".

Cada uno de los diferentes estados de momento angular puede albergar 2(2 ℓ  +  1) electrones. Esto se debe a que el tercer número cuántico m _ℓ (que puede considerarse, de forma aproximada, como la proyección cuantizada del vector de momento angular sobre el eje z) varía de − ℓ a ℓ en unidades enteras, por lo que existen 2 ℓ  +  1 estados posibles. Cada orbital distinto n , ℓ , m _ℓ puede ser ocupado por dos electrones con espines opuestos (dados por el número cuántico m _s  =  ± 1 ⁄ 2 ), lo que da un total de 2(2 ℓ  + 1) electrones. Los orbitales con un ℓ  mayor que el indicado en la tabla son perfectamente permisibles, pero estos valores abarcan todos los átomos descubiertos hasta ahora.

Para un valor dado del número cuántico principal n , los posibles valores de ℓ van de 0 a n − 1 ; por lo tanto, la capa n = 1 solo posee una subcapa s y solo puede tomar 2 electrones, la capa n = 2 posee una subcapa s y una subcapa p y puede tomar 8 electrones en total, la capa n = 3 posee subcapas s , p y d y tiene un máximo de 18 electrones, y así sucesivamente.   

Un modelo simplificado de un solo electrón da como resultado niveles de energía que dependen únicamente del número principal. En átomos más complejos, estos niveles de energía se dividen para todo n > 1 , colocando estados de ℓ más altos por encima de estados de ℓ más bajos . Por ejemplo, la energía de 2p es mayor que la de 2s, 3d es mayor que 3p, que a su vez es mayor que 3s, etc. Este efecto finalmente forma la estructura de bloques de la tabla periódica. Ningún átomo conocido posee un electrón con ℓ mayor que tres ( f ) en su estado fundamental .

El número cuántico de momento angular, ℓ, y el armónico esférico correspondiente rigen el número de nodos planares que atraviesan el núcleo. Un nodo planar se puede describir en una onda electromagnética como el punto medio entre la cresta y el valle, que tiene magnitud cero. En un orbital s, ningún nodo atraviesa el núcleo; por lo tanto, el número cuántico azimutal correspondiente, ℓ, toma el valor de 0. En un orbital p , un nodo atraviesa el núcleo y, por lo tanto, ℓ tiene el valor de 1.${\displaystyle L}$tiene el valor${\displaystyle {\sqrt {2}}\hbar }$.

Dependiendo del valor de n , existe un número cuántico de momento angular ℓ y la siguiente serie. Las longitudes de onda enumeradas corresponden a un átomo de hidrógeno :

Dado un momento angular total cuantizado${\displaystyle \mathbf {j} }$esa es la suma de dos momentos angulares cuantizados individuales${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{1}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{2}}$, $${\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\ell }}_{1}+{\boldsymbol {\ell }}_{2}}$$ el número cuántico${\displaystyle j}$asociado con su magnitud puede variar desde${\displaystyle |\ell _{1}-\ell _{2}|}$a${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}}$en pasos enteros donde${\displaystyle \ell _{1}}$y${\displaystyle \ell _{2}}$son números cuánticos que corresponden a las magnitudes de los momentos angulares individuales.

Momento angular total de un electrón en el átomo

Debido a la interacción espín-órbita en un átomo, el momento angular orbital ya no conmuta con el hamiltoniano , ni tampoco el espín . Por lo tanto, estos cambian con el tiempo. Sin embargo, el momento angular total J sí conmuta con el hamiltoniano de un electrón y, por lo tanto, es constante. J se define como $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$$donde L es el momento angular orbital y S el espín. El momento angular total satisface las mismas relaciones de conmutación que el momento angular orbital , a saber: $${\displaystyle [J_ {i}, J_ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} J_ {k}}$$ de lo cual se deduce que $${\displaystyle \left[J_{i},J^{2}\right]=0}$$ donde J _i representa J _x , J _y , y J _z .

Los números cuánticos que describen el sistema, que son constantes en el tiempo, son ahora j y m _j , definidos a través de la acción de J sobre la función de onda.${\displaystyle \Psi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}\Psi &=\hbar ^{2}j(j+1)\Psi \\[1ex]\mathbf {J} _{z}\Psi &=\hbar m_{j}\Psi \end{aligned}}}$$

Así, j está relacionado con la norma del momento angular total y m _j con su proyección a lo largo de un eje específico. El número j tiene una importancia particular en la química cuántica relativista , apareciendo frecuentemente como subíndice en estados más profundos cercanos al núcleo, donde el acoplamiento espín-órbita es importante.

Al igual que con cualquier momento angular en mecánica cuántica, la proyección de J a lo largo de otros ejes no puede definirse conjuntamente con J _z , porque no conmutan. Los autovectores de j , s , m _j y la paridad, que también son autovectores del hamiltoniano, son combinaciones lineales de los autovectores de ℓ , s , m _ℓ y m _s .

Los números cuánticos de momento angular se refieren estrictamente a átomos aislados. Sin embargo, tienen usos más amplios para átomos en sólidos, líquidos o gases. El número cuántico ℓ m corresponde a armónicos esféricos específicos y se utilizan comúnmente para describir características observadas en métodos espectroscópicos como la espectroscopia de fotoelectrones de rayos X ^{[ 6 ]} y la espectroscopia de pérdida de energía de electrones ^{[ 7 ]} (La notación es ligeramente diferente, con la notación de rayos X donde K, L, M se utilizan para excitaciones fuera de estados electrónicos con${\displaystyle n=0,1,2}$.)

Los números cuánticos de momento angular también se utilizan cuando los estados electrónicos se describen en métodos como la teoría funcional de la densidad de Kohn-Sham ^{[ 8 ]} o con orbitales gaussianos . ^{[ 9 ]} Por ejemplo, en el silicio las propiedades electrónicas utilizadas en los dispositivos semiconductores se deben a los estados de tipo p con${\displaystyle l=1}$centrado en cada átomo, mientras que muchas propiedades de los metales de transición dependen de los estados tipo d con${\displaystyle l=2}$. ^{[ 10 ]}

El número cuántico azimutal se tomó del modelo atómico de Bohr y fue postulado por Arnold Sommerfeld . ^{[ 11 ]} El modelo de Bohr se derivó del análisis espectroscópico de átomos en combinación con el modelo atómico de Rutherford . Se encontró que el nivel cuántico más bajo tenía un momento angular de cero. Las órbitas con momento angular cero se consideraron como cargas oscilantes en una dimensión y por lo tanto se describieron como órbitas de "péndulo", pero no se encontraron en la naturaleza. ^{[ 12 ]} En tres dimensiones, las órbitas se vuelven esféricas sin ningún nodo que cruce el núcleo, similar (en el estado de energía más baja) a una cuerda de saltar que oscila en un gran círculo.

• Introducción a la mecánica cuántica
• Partícula en un potencial de simetría esférica
• Acoplamiento del momento angular
• Operador de momento angular
• Coeficientes de Clebsch-Gordan

• Desarrollo del átomo de Bohr
• La ecuación azimutal explicada