Función zeta de Airy

En matemáticas , la función zeta de Airy , estudiada por Crandall (1996) , es una función análoga a la función zeta de Riemann y relacionada con los ceros de la función de Airy .

La función Airy

${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\tfrac {1}{3}}t^{3}+xt\right)\,dt,}$

es positivo para valores positivos de x , pero oscila para valores negativos de x . Los ceros de Airy son los valores${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$en el cual${\displaystyle {\text{Ai}}(a_{i})=0}$, ordenados por magnitud creciente:${\displaystyle |a_{1}|<|a_{2}|<\cdots }$.

La función zeta de Airy es la función definida a partir de esta secuencia de ceros por la serie

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(s)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{i}|^{s}}}.}$

Esta serie converge cuando la parte real de s es mayor que 3/2, y puede extenderse mediante continuación analítica a otros valores de s .

Al igual que la función zeta de Riemann, cuyo valor${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$Si la solución al problema de Basilea es que la función zeta de Airy se puede evaluar exactamente en s  =  2:

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(2)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{i}^{2}}}={\frac {3^{5/3}\Gamma ^{4}({\frac {2}{3}})}{4\pi ^{2}}},}$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es la función gamma , una variante continua del factorial . También son posibles evaluaciones similares para valores enteros más grandes de s .

Se conjetura que la continuación analítica de la función zeta de Airy se evalúa en 1 a

${\displaystyle \zeta _{\mathrm {Ai} }(1)=-{\frac {\Gamma ({\frac {2}{3}})}{\Gamma ({\frac {4}{3}}){\sqrt[{3}]{9}}}}.}$

• Crandall, Richard E. (1996), "Sobre la función zeta cuántica", Journal of Physics A: Mathematical and General , 29 (21): 6795– 6816, Bibcode : 1996JPhA...29.6795C , doi : 10.1088/0305-4470/29/21/014 , ISSN 0305-4470 , MR 1421901  

• Weisstein, Eric W. "Función zeta de Airy" . MathWorld .