Sistema radicular afín

En matemáticas, un sistema de raíces afines es un sistema de raíces de funciones lineales afines en un espacio euclidiano . Se utilizan en la clasificación de álgebras y superálgebras de Lie afines, y grupos algebraicos p -ádicos semisimples , y corresponden a familias de polinomios de Macdonald . Los sistemas de raíces afines reducidos fueron utilizados por Kac y Moody en su trabajo sobre álgebras de Kac-Moody . Posiblemente, Macdonald (1972) y Bruhat y Tits (1972) introdujeron y clasificaron sistemas de raíces afines no reducidos (excepto que ambos artículos omitieron accidentalmente el diagrama de Dynkin ).

Sea E un espacio afín y V el espacio vectorial de sus traslaciones. Recordemos que V actúa fiel y transitivamente sobre E. En particular, si${\displaystyle u,v\in E}$, entonces está bien definido un elemento en V denotado como${\displaystyle uv}$que es el único elemento w tal que${\displaystyle v+w=u}$.

Ahora supongamos que tenemos un producto escalar.${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$en V. Esto define una métrica en E como${\displaystyle d(u,v)=\vert (uv,uv)\vert }$.

Consideremos el espacio vectorial F de funciones afines lineales.${\displaystyle f\colon E\longrightarrow \mathbb {R} }$. Habiendo arreglado un${\displaystyle x_{0}\in E}$, cada elemento en F puede escribirse como${\displaystyle f(x)=Df(x-x_{0})+f(x_{0})}$con${\displaystyle Df}$una función lineal en V que no depende de la elección de${\displaystyle x_{0}}$.

Ahora el dual de V puede identificarse con V gracias al producto escalar elegido, y podemos definir un producto en F como${\displaystyle (f,g)=(Df,Dg)}$. Colocar${\displaystyle f^{\vee }={\frac {2f}{(f,f)}}}$y${\displaystyle v^{\vee }={\frac {2v}{(v,v)}}}$para cualquier${\displaystyle f\in F}$y${\displaystyle v\in V}$respectivamente. La identificación nos permite definir una reflexión${\displaystyle w_{f}}$sobre E de la siguiente manera:

${\displaystyle w_{f}(x)=xf^{\vee }(x)Df}$

Por transposición${\displaystyle w_{f}}$actúa también sobre F como

${\displaystyle w_{f}(g)=g-(f^{\vee },g)f}$

Un sistema de raíces afines es un subconjunto${\displaystyle S\subset F}$de tal manera que:

Los elementos de S se denominan raíces afines . Denotemos con${\displaystyle w(S)}$el grupo generado por el${\displaystyle w_{a}}$con${\displaystyle a\in S}$También preguntamos

Esto significa que para cualesquiera dos compactos${\displaystyle K,H\subseteq E}$los elementos de${\displaystyle w(S)}$de tal manera que${\displaystyle w(K)\cap H\neq \varnothing }$son un número finito.

Los sistemas de raíces afines A ₁ = B ₁ = B ^∨ ₁ = C ₁ = C ^∨ ₁ son los mismos, al igual que los pares B ₂ = C ₂ , B ^∨ ₂ = C ^∨ ₂ , y A ₃ = D ₃

El número de órbitas que se muestra en la tabla corresponde al número de órbitas de raíces simples bajo el grupo de Weyl . En los diagramas de Dynkin , las raíces simples no reducidas α (con 2α como raíz) están coloreadas de verde. El primer diagrama de Dynkin de una serie a veces no sigue la misma regla que los demás.

• Macdonald (1972) demostró que los sistemas de raíces afines indexan las identidades de Macdonald.
• Bruhat y Tits (1972) utilizaron sistemas de raíces afines para estudiar grupos algebraicos p -ádicos.
• Los sistemas de raíces afines reducidos clasifican las álgebras de Kac-Moody afines , mientras que los sistemas de raíces afines no reducidos corresponden a las superálgebras de Lie afines .
• Macdonald (2003) demostró que los sistemas de raíces afines indexan familias de polinomios de Macdonald .

• Bruhat, F .; Tetas, Jacques (1972), "Groupes réductifs sur un corps local" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 41 : 5– 251, doi : 10.1007/bf02715544 , ISSN 1618-1913 , MR 0327923 , S2CID 125864274   
• Macdonald, IG (1972), "Sistemas de raíces afines y la función η de Dedekind", Inventiones Mathematicae , 15 (2): 91–143 , Bibcode : 1971InMat..15...91M , doi : 10.1007/BF01418931 , ISSN 0020-9910 , MR 0357528 , S2CID 122115111   
• Macdonald, IG (2003), Álgebras de Hecke afines y polinomios ortogonales , Cambridge Tracts in Mathematics, vol.  157, Cambridge: Cambridge University Press, pp.  x+175, ISBN 978-0-521-82472-9, MR 1976581