Esquema formal

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , un esquema formal es un tipo de espacio que incluye datos sobre su entorno. A diferencia de un esquema ordinario , un esquema formal incluye datos infinitesimales que, en efecto, apuntan en una dirección fuera del esquema. Por esta razón, los esquemas formales aparecen frecuentemente en temas como la teoría de la deformación . Pero el concepto también se utiliza para demostrar un teorema, como el teorema sobre funciones formales , que se emplea para deducir teoremas de interés para los esquemas usuales.

Un esquema localmente noetheriano es un esquema formal localmente noetheriano en el sentido canónico: la completación formal en sí misma. En otras palabras, la categoría de esquemas formales localmente noetherianos contiene todos los esquemas localmente noetherianos.

Los esquemas formales se inspiraron en la teoría de funciones holomorfas formales de Zariski y la generalizan .

La geometría algebraica basada en esquemas formales se denomina geometría algebraica formal .

Los esquemas formales suelen definirse únicamente en el caso noetheriano . Si bien existen varias definiciones de esquemas formales no noetherianos, estas presentan problemas técnicos. Por consiguiente, solo definiremos esquemas formales localmente noetherianos.

Se asumirá que todos los anillos son conmutativos y con unidad . Sea A un anillo topológico (noetheriano) , es decir, un anillo A que es un espacio topológico tal que las operaciones de suma y multiplicación son continuas. A está linealmente topologizado si cero tiene una base formada por ideales . Un ideal de definición${\displaystyle {\mathcal {J}}}$para un anillo topologizado linealmente es un ideal abierto tal que para cada entorno abierto V de 0, existe un entero positivo n tal que${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}\subseteq V}$Un anillo topologizado linealmente es preadmisible si admite un ideal de definición, y es admisible si además es completo . (En la terminología de Bourbaki , esto se denomina "completo y separado").

Supongamos que A es admisible y sea${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ser un ideal de definición. Un ideal primo es abierto si y solo si contiene${\displaystyle {\mathcal {J}}}$. El conjunto de ideales primos abiertos de A , o equivalentemente el conjunto de ideales primos de${\displaystyle A/{\mathcal {J}}}$, es el espacio topológico subyacente del espectro formal de A , denotado Spf A . Spf A tiene un haz de estructura que se define utilizando el haz de estructura del espectro de un anillo . Sea${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\lambda }}$ser una base de vecindad para cero que consiste en ideales de definición. Todos los espectros de${\displaystyle A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$tienen el mismo espacio topológico subyacente pero un haz estructural diferente. El haz estructural de Spf A es el límite proyectivo.${\displaystyle \varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}}$.

Se puede demostrar que si f ∈ A y D _f es el conjunto de todos los ideales primos abiertos de A que no contienen a f , entonces${\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}}$, dónde${\displaystyle {\widehat {A_{f}}}}$es la finalización de la localización A _f .

Finalmente, un esquema formal localmente noetheriano es un espacio topológicamente anillado.${\displaystyle ({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$(es decir, un espacio anillado cuyo haz de anillos es un haz de anillos topológicos) tal que cada punto de${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$admite un entorno abierto isomorfo (como espacios topológicamente anillados) al espectro formal de un anillo noetheriano.

Un morfismo${\displaystyle f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}}$de esquemas formales localmente noetherianos es un morfismo de ellos como espacios localmente anillados tales que el mapa inducido${\displaystyle f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$es un homomorfismo continuo de anillos topológicos para cualquier subconjunto abierto afín U.

Se dice que f es ádico o${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$es un${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$Esquema formal -ádico si existe un ideal de definición${\displaystyle {\mathcal {I}}}$de tal manera que${\displaystyle f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$es un ideal de definición para${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$. Si f es ádica, entonces esta propiedad se cumple para cualquier ideal de definición.

Para cualquier ideal${\displaystyle I}$y anillo${\displaystyle A}$podemos definir el${\displaystyle I}$Topología -ádica en${\displaystyle A}$, definido por su base que consiste en conjuntos de la forma${\displaystyle a+I^{n}}$. Esto es preadmisible y admisible si${\displaystyle A}$es${\displaystyle I}$-Abísticamente completo. En este caso${\displaystyle \operatorname {Spf} A}$es el espacio topológico${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$con manojo de anillos${\displaystyle \lim _{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}}$en lugar de${\displaystyle {\widetilde {A/I}}}$.

1. ${\displaystyle A=k[\![t]\!]}$y${\displaystyle I=(t)}$. Entonces${\displaystyle A/I=k}$así que el espacio${\displaystyle \operatorname {Spf} A}$un solo punto${\displaystyle (t)}$en la que su estructura de haz toma valor${\displaystyle k[\![t]\!]}$. Compárelo con${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$, cuya estructura de haz toma valor${\displaystyle k}$en este punto: este es un ejemplo de la idea de que${\displaystyle \operatorname {Spf} A}$es un 'espesor formal' de${\displaystyle A}$acerca de${\displaystyle I}$.
2. La finalización formal de un subesquema cerrado. Considere el subesquema cerrado.${\displaystyle X}$del plano afín sobre${\displaystyle k}$, definido por el ideal${\displaystyle I=(y^{2}-x^{3})}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle A_{0}=k[x,y]}$no lo es${\displaystyle I}$-completamente ádicamente; escribir${\displaystyle A}$por su${\displaystyle I}$-completación ádica. En este caso,${\displaystyle \operatorname {Spf} A=X}$como espacios y su estructura haz es${\displaystyle \lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}}$Sus secciones globales son${\displaystyle A}$, en contraposición a${\displaystyle X}$cuyas secciones globales son${\displaystyle A/I}$.

• función holomorfa formal
• Teoría de la deformación
• Teorema de Schlessinger

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . SEÑOR 0217083 . 
• Yasuda, T. (2009). "Esquemas formales no ádicos". International Mathematics Research Notices . arXiv : 0711.0434 . doi : 10.1093/imrn/rnp021 .
• McQuillan, Michael (2002). «Esquemas formales». Topología y geometría: Conmemoración de SISTAG . Matemáticas contemporáneas. Vol.  314. pp. 187–198 . doi : 10.1090/conm/314/05431 . ISBN  9780821828205.

• finalización formal