Ecuación diferencial abstracta

En matemáticas , una ecuación diferencial abstracta es una ecuación diferencial en la que la función desconocida y sus derivadas toman valores en algún espacio abstracto genérico (un espacio de Hilbert, un espacio de Banach, etc.). Ecuaciones de este tipo surgen, por ejemplo, en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales : si a una de las variables se le da una posición privilegiada (por ejemplo, el tiempo, en ecuaciones de calor o de ondas ) y se ponen todas las demás juntas, se obtiene una ecuación "diferencial" ordinaria con respecto a la variable que se puso en evidencia. La adición de condiciones de contorno a menudo se puede traducir en términos de considerar soluciones en algunos espacios de funciones convenientes.

La ecuación diferencial abstracta clásica que se encuentra con mayor frecuencia es la ecuación ^[1]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f}$

donde la función desconocida pertenece a algún espacio de funciones y es un operador (normalmente un operador lineal) que actúa sobre este espacio. La teoría de los semigrupos C ₀ proporciona un tratamiento exhaustivo del caso homogéneo ( ) con un operador constante . Muy a menudo, el estudio de otras ecuaciones diferenciales abstractas equivale (por ejemplo, mediante la reducción a un conjunto de ecuaciones de primer orden) al estudio de esta ecuación. ${\displaystyle u=u(t)}$ ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle 0\leq t\leq T\leq \infty}$${\displaystyle A:X\a X}$${\estilo de visualización f=0}$

La teoría de ecuaciones diferenciales abstractas fue fundada por Einar Hille en varios artículos y en su libro Functional Analysis and Semi-Groups. Otros contribuyentes importantes fueron ^[2] Kōsaku Yosida , Ralph Phillips , Isao Miyadera y Selim Grigorievich Krein. ^[3]

Sean y dos operadores lineales , con dominios y , que actúan en un espacio de Banach . ^{[4] [5] [6]} Se dice que una función tiene derivada fuerte (o es diferenciable de Frechet o simplemente diferenciable ) en el punto si existe un elemento tal que ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle D(A)}$${\estilo de visualización D(B)}$ ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle u(t):[0,T]\to X}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle y\in X}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left\|{\frac {u(t_{0}+h)-u(t_{0})}{h}}-y\right\|=0}$

y su derivada es . ${\displaystyle u'(t_{0})=y}$

Una solución de la ecuación

${\displaystyle B{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au}$

es una función tal que: ${\displaystyle u(t):[0,\infty )\to D(A)\cap D(B)}$

• ${\displaystyle (Bu)(t)\in C([0,\infty );X),}$
• La derivada fuerte existe y para cualquier tal , y${\displaystyle u'(t)}$${\displaystyle \forall t\in [0,\infty )}$${\displaystyle u'(t)\in D(B)}$${\displaystyle t}$
• La igualdad anterior se cumple .${\displaystyle \forall t\in [0,\infty )}$

El problema de Cauchy consiste en encontrar una solución de la ecuación, que satisfaga la condición inicial . ${\displaystyle u(0)=u_{0}\in D(A)\cap D(B)}$

Según la definición de problema bien planteado de Hadamard , se dice que el problema de Cauchy está bien planteado (o es correcto ) si: ${\displaystyle [0,\infty )}$

• Para cualquiera tiene una solución única, y${\displaystyle u_{0}\in D(A)\cap D(B)}$
• Esta solución depende continuamente de los datos iniciales en el sentido de que si ( ), entonces para la solución correspondiente en cada${\displaystyle u_{n}(0)\to 0}$${\displaystyle u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle u_{n}(t)\to 0}$${\displaystyle t\in [0,\infty ).}$

Se dice que un problema de Cauchy bien planteado está uniformemente bien planteado si implica uniformemente en cada intervalo finito . ${\displaystyle u_{n}(0)\to 0}$${\displaystyle u_{n}(t)\to 0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle [0,T]}$

A un problema abstracto de Cauchy se le puede asociar un semigrupo de operadores , es decir, una familia de operadores lineales acotados que dependen de un parámetro ( ) tales que ${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0<t<\infty }$

${\displaystyle U(t_{1}+t_{2})=U(t_{1})U(t_{2})\quad (0<t_{1},t_{2}<\infty ).}$

Considérese el operador que asigna al elemento el valor de la solución del problema de Cauchy ( ) en el instante de tiempo . Si el problema de Cauchy está bien planteado, entonces el operador está definido en y forma un semigrupo. ${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle u(0)=u_{0}}$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$

Además, si es denso en , el operador puede extenderse a un operador lineal acotado definido en todo el espacio . En este caso, se puede asociar a cualquier función , para cualquier . Tal función se denomina solución generalizada del problema de Cauchy. ${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle U(t)x_{0}}$${\displaystyle t>0}$

Si es denso en y el problema de Cauchy está uniformemente bien planteado, entonces el semigrupo asociado es un semigrupo C ₀ en . ${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle X}$

Por el contrario, si es el generador infinitesimal de un semigrupo C ₀ , entonces el problema de Cauchy ${\displaystyle A}$${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

está uniformemente bien planteada y la solución está dada por

${\displaystyle u(t)=U(t)u_{0}.}$

El problema de Cauchy

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

con , se dice que no es homogénea cuando . El siguiente teorema proporciona algunas condiciones suficientes para la existencia de la solución: ${\displaystyle f:[0,\infty )\to X}$${\displaystyle f(t)\neq 0}$

Teorema. Si es un generador infinitesimal de un semigrupo C ₀ y es continuamente diferenciable, entonces la función ${\displaystyle A}$${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(t)=T(t)u_{0}+\int _{0}^{t}T(t-s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0}$

es la solución única al problema de Cauchy (abstracto) no homogéneo.

La integral del lado derecho debe considerarse como una integral de Bochner .

El problema ^[7] de encontrar una solución al problema del valor inicial

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A),}$

donde la incógnita es una función , se da y, para cada , es un operador lineal dado, cerrado , en con dominio , independiente de y denso en , se denomina problema de Cauchy dependiente del tiempo .${\displaystyle u:[0,T]\to X}$${\displaystyle f:[0,T]\to X}$${\displaystyle t\in [0,T]}$${\displaystyle A(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D[A(t)]=D}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$

Una función con valores de operador en (el espacio de todos los operadores lineales acotados desde hasta ), definida y fuertemente continua conjuntamente en para , se denomina solución fundamental del problema dependiente del tiempo si: ${\displaystyle U(t,\tau )}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t,\tau }$${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$

• la derivada parcial existe en la topología fuerte de , pertenece a para , y es fuertemente continua en para ;${\displaystyle {\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$
• el rango de esta en ;${\displaystyle U(t,\tau )}$${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}+A(t)U(t,\tau )=0,\quad 0\leq \tau \leq t\leq T,}$y
• ${\displaystyle U(\tau ,\tau )=I}$.

${\displaystyle U(\tau ,\tau )}$También se llama operador de evolución, propagador, operador de solución o función de Green.

Una función se denomina solución suave del problema dependiente del tiempo si admite la representación integral ${\displaystyle u:[0,T]\to X}$

${\displaystyle u(t)=U(t,0)u_{0}+\int _{0}^{t}U(t,s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0.}$

Existen varias condiciones suficientes conocidas para la existencia del operador de evolución . En prácticamente todos los casos considerados en la literatura se supone que es el generador infinitesimal de un semigrupo C ₀ en . Grosso modo, si es el generador infinitesimal de un semigrupo de contracción se dice que la ecuación es de tipo hiperbólico ; si es el generador infinitesimal de un semigrupo analítico se dice que la ecuación es de tipo parabólico . ${\displaystyle U(t,\tau )}$${\displaystyle -A(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle -A(t)}$${\displaystyle -A(t)}$

El problema ^[7] de encontrar una solución a cualquiera de los dos

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=f(t,u)\quad u(0)=u_{0}\in X}$

donde se da, o ${\displaystyle f:[0,T]\times X\to X}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

donde es un operador no lineal con dominio , se llama problema de Cauchy no lineal . ${\displaystyle A}$${\displaystyle D(A)\in X}$

• Problema de Cauchy
• Semigrupo C0