semigrupo analítico

En matemáticas , un semigrupo analítico es un tipo particular de semigrupo fuertemente continuo . Los semigrupos analíticos se utilizan en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales ; en comparación con los semigrupos fuertemente continuos, los semigrupos analíticos proporcionan una mayor regularidad en las soluciones de problemas de valor inicial , mejores resultados en lo que respecta a las perturbaciones del generador infinitesimal y una relación entre el tipo de semigrupo y el espectro del generador infinitesimal.

Sea Γ( t )  =  exp( At ) un semigrupo fuertemente continuo de un parámetro en un espacio de Banach ( X ,  ||·||) con generador infinitesimal A . Se dice que Γ es un semigrupo analítico si

• para algún 0  < θ < π/2, el operador lineal continuo exp( At ) : X → X puede extenderse a t ∈ Δ _θ ,         

${\displaystyle \Delta _{\theta }=\{0\}\cup \{t\in \mathbb {C}$ :|\mathrm {arg} (t)|<\theta \},}

y las condiciones habituales de semigrupo se cumplen para s , t ∈ Δ _θ : exp( A 0) = id, exp( A ( t + s )) = exp( At ) exp( As ), y, para cada x ∈ X , exp( At ) x es continua en t ;           

• y, para todo t  ∈  Δ _θ  \  {0}, exp( At ) es analítica en t en el sentido de la topología de operador uniforme .

Los generadores infinitesimales de semigrupos analíticos tienen la siguiente caracterización:

Un operador lineal cerrado y densamente definido A en un espacio de Banach X es el generador de un semigrupo analítico si y solo si existe un ω ∈ R tal que el semiplano Re( λ ) > ω está contenido en el conjunto resolvente de A y, además, existe una constante C tal que para la resolvente    ${\displaystyle R_{\lambda }(A)}$del operador A tenemos

${\displaystyle \|R_{\lambda }(A)\|\leq {\frac {C}{|\lambda -\omega |}}}$

para Re( λ ) > ω . Estos operadores se denominan sectoriales . Si este es el caso, entonces el conjunto resolvente contiene en realidad un sector de la forma  

${\displaystyle \left\{\lambda \in \mathbf {C}$ :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|<{\frac {\pi }{2}}+\delta \right\}}

para algún δ > 0, y una estimación de resolvente análoga se cumple en este sector. Además, el semigrupo está representado por  

${\displaystyle \exp(At)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }e^{\lambda t}(\lambda \mathrm {id} -A)^{-1}\,\mathrm {d} \lambda ,}$

donde γ es cualquier curva desde e ^{− iθ} ∞ hasta e ^{+ iθ} ∞ tal que γ se encuentra completamente en el sector

${\displaystyle {\big \{}\lambda \in \mathbf {C}$ :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|\leq \theta {\big \}},}

con π/2  < θ < π/2 + δ .     

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemáticas Aplicadas 13 (Segunda  edición). Nueva York: Springer-Verlag. pp.  xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR 2028503 .