Cuatro aceleraciones

En la teoría de la relatividad , la cuadriaceleración es un cuadrivector (vector en el espaciotiempo de cuatro dimensiones ) análogo a la aceleración clásica (un vector tridimensional; véase la triaceleración en la relatividad especial ). La cuadriaceleración tiene aplicaciones en áreas como la aniquilación de antiprotones , la resonancia de partículas extrañas y la radiación de una carga acelerada. ^{[ 1 ]}

En coordenadas inerciales en la relatividad especial , cuadriaceleración${\displaystyle \mathbf {A} }$se define como la tasa de cambio en la cuadrivelocidad${\displaystyle \mathbf {U} }$con respecto al tiempo propio de la partícula a lo largo de su línea de universo . Podemos decir: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}&=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\mathbf {u} \right)\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right),\end{aligned}}}$$ dónde

• ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}}$, con${\displaystyle \mathbf {a} }$la aceleración triple y${\displaystyle \mathbf {u} }$la velocidad triple y
• ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\derecha)^{3/2}}},}$y
• ${\displaystyle \gamma _{u}}$es el factor de Lorentz para la velocidad${\displaystyle u}$(con${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$). Un punto sobre una variable indica una derivada con respecto al tiempo de coordenadas en un sistema de referencia dado, no al tiempo propio.${\displaystyle \tau }$(en otras palabras,${\textstyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {d\gamma _{u}}{dt}}}$).

En un marco de referencia inercial que se mueve instantáneamente junto con el sistema de referencia.${\displaystyle \mathbf {u} =0}$,${\displaystyle \gamma _{u}=1}$y${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}=0}$, es decir, en dicho marco de referencia $${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right).}$$

Geométricamente, la cuadriaceleración es un vector de curvatura de una línea de universo. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Por lo tanto, la magnitud de la cuadriaceleración (que es un escalar invariante) es igual a la aceleración propia que una partícula en movimiento "siente" al desplazarse a lo largo de una línea de universo. Una línea de universo con cuadriaceleración constante es un círculo de Minkowski, es decir, una hipérbola (véase movimiento hiperbólico ).

El producto escalar de la cuadrivelocidad de una partícula y su cuadriaceleración es siempre 0.

Incluso a velocidades relativistas, la cuadriaceleración está relacionada con la cuadrifuerza :$${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu },}$$donde m es la masa invariante de una partícula.

Cuando la cuadrifuerza es cero, solo la gravedad afecta la trayectoria de una partícula, y el equivalente cuadrivectorial de la segunda ley de Newton se reduce a la ecuación geodésica . La cuadriaceleración de una partícula que realiza un movimiento geodésico es cero. Esto corresponde a que la gravedad no sea una fuerza. La cuadriaceleración es diferente de lo que entendemos por aceleración según la definición de la física newtoniana, donde la gravedad se trata como una fuerza.

En coordenadas no inerciales, que incluyen las coordenadas aceleradas en la relatividad especial y todas las coordenadas en la relatividad general , el cuadrivector de aceleración está relacionado con la cuadrivelocidad mediante una derivada absoluta con respecto al tiempo propio.

$${\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$$

En coordenadas inerciales, los símbolos de Christoffel${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }}$son todos cero, por lo que esta fórmula es compatible con la fórmula dada anteriormente.

En la relatividad especial, las coordenadas corresponden a un sistema de referencia inercial rectilíneo, por lo que el término de símbolos de Christoffel desaparece. Sin embargo, a veces, cuando los autores utilizan coordenadas curvas para describir un sistema de referencia acelerado, este no es inercial, y aun así describen la física como relativista especial, ya que la métrica es simplemente una transformación del espacio de Minkowski . En ese caso, esta es la expresión que debe utilizarse, puesto que los símbolos de Christoffel ya no son todos cero.

• Cuatro vectores
• Cuatro velocidades
• Cuatro momentos
• Cuatro fuerzas
• Cuatro gradientes
• Aceleración adecuada

• Papapetrou A. (1974). Lecciones sobre la relatividad general . D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-0514-3.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2.ª ed.) . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación del editor ( enlace )

• Vector de curvatura en Britannica