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Articulo de referencia

Transformación Z 2D

La transformada Z 2D , similar a la transformada Z , se utiliza en el procesamiento de señales multidimensionales para relacionar una señal discreta bidimensional con el dominio...

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La transformada Z 2D , similar a la transformada Z , se utiliza en el procesamiento de señales multidimensionales para relacionar una señal discreta bidimensional con el dominio de la frecuencia compleja, en el que la superficie 2D en el espacio 4D sobre la que se encuentra la transformada de Fourier se conoce como superficie unitaria o bicircle unitario. [ 1 ] La transformada Z 2D se define por

incógnitaz(z1,z2)=∑norte1=0∞∑norte2=0∞incógnita(norte1,norte2)z1−norte1z2−norte2{\displaystyle X_{z}(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }x(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}}

dóndenorte1,norte2{\displaystyle n_{1},n_{2}}son números enteros yz1,z2{\displaystyle z_{1},z_{2}}están representados por los números complejos:

z1=Amijϕ1=A(porque⁡ϕ1+jpecado⁡ϕ1){\displaystyle z_{1}=Ae^{j\phi _{1}}=A(\cos {\phi _{1}}+j\sin {\phi _{1}})\,}
z2=Bmijϕ2=B(porque⁡ϕ2+jpecado⁡ϕ2){\displaystyle z_{2}=Be^{j\phi _{2}}=B(\cos {\phi _{2}}+j\sin {\phi _{2}})\,}

La transformada Z bidimensional es una versión generalizada de la transformada de Fourier bidimensional . Converge para una clase mucho más amplia de secuencias y es una herramienta útil para extraer conclusiones sobre características del sistema, como la estabilidad BIBO . También se utiliza para determinar la relación entre la entrada y la salida de un sistema lineal invariante a traslaciones , por ejemplo, manipulando una ecuación de diferencias para determinar la función de transferencia del sistema .

Región de Convergencia (ROC)

La región de convergencia es el conjunto de puntos en el espacio complejo donde:

ROdo=|incógnitaz(z1,z2)|<∞{\displaystyle República de China=|X_{z}(z_{1},z_{2})|<\infty }

En el caso 1D esto se representa mediante un anillo , y la representación 2D de un anillo se conoce como el dominio de Reinhardt . [ 2 ] De esto se puede concluir que solo la magnitud y no la fase de un punto en(z1,z2){\displaystyle (z_{1},z_{2})}determinará si se encuentra o no dentro de la ROC. Para que una transformada Z 2D defina completamente el sistema que pretende describir, también debe conocerse la ROC asociada. Se pueden extraer conclusiones sobre la Región de Convergencia basándose en la Región de Soporte de la secuencia original.(norte1,norte2){\displaystyle (n_{1},n_{2})}.

Secuencias de soporte finito

Una secuencia con una región de soporte delimitada por un área(METRO1,METRO2){\displaystyle (M_{1},M_{2})}dentro del(norte1,norte2){\displaystyle (n_{1},n_{2})}El plano se puede representar en el dominio z como:

incógnitaz(z1,z2)=∑norte1=0METRO1∑norte2=0METRO2incógnita(norte1,norte2)z1−norte1z2−norte2{\displaystyle X_{z}(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=0}^{M_{1}}\sum _{n_{2}=0}^{M_{2}}x(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}}

Debido a que los límites de la suma son finitos, siempre que z1 y z2 sean finitos, la transformada Z 2D convergerá para todos los valores de z1 y z2, excepto en algunos casos donde z1 = 0 o z2 = 0 dependiendo deincógnita(norte1,norte2){\displaystyle x(n_{1},n_{2})}.

Secuencias del primer cuadrante y en cuña

Secuencias con una región de soporte en el primer cuadrante de la(norte1,norte2){\displaystyle (n_{1},n_{2})}El plano tiene la siguiente transformación Z 2D:

incógnitaz(z1,z2)=∑norte1=0∞∑norte2=0∞incógnita(norte1,norte2)z1−norte1z2−norte2{\displaystyle X_{z}(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }x(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}}

A partir de la transformación de un puntoz01,z02{\displaystyle z_{01},z_{02}}se encuentra dentro del ROC entonces cualquier punto con una magnitud

|z1| ≥ |z01|;|z2| ≥ |z02|{\displaystyle \left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}\left|z_{01}\right|;\left|z_{2}\right|{\text{ ≥ }}\left|z_{02}\right|}

también se encuentran dentro de la ROC. Debido a estas condiciones, el límite de la ROC debe tener una pendiente negativa o una pendiente de 0. Esto se puede asumir porque si la pendiente fuera positiva habría puntos que cumplen la condición anterior, pero que también se encuentran fuera de la ROC. [ 2 ] Por ejemplo, la secuencia:

incógnitanorte(norte1,norte2)=a1norteδ(norte1−norte2)tú[norte1,norte2]{\ Displaystyle x_ {n} (n_ {1}, n_ {2}) = a_ {1} ^ {n} \ delta (n_ {1} -n_ {2}) u [n_ {1}, n_ {2}]}tiene elz{\displaystyle z}transformar
incógnitaz(z1,z2)=11−az1−1z2−1{\displaystyle X_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {1}{1-az_{1}^{-1}z_{2}^{-1}}}}

Es obvio que esto solo converge para

|a|<|z01||z02|=ln⁡(|a|)<ln⁡(|z01|)−ln⁡(|z02|){\displaystyle \left|a\right|<\left|z_{01}\right|\left|z_{02}\right|=\ln(\left|a\right|)<\ln(\left|z_{01}\right|)-\ln(\left|z_{02}\right|)}

Así pues, el límite de la ROC es simplemente una línea con una pendiente de -1 en ellnorte(z01),lnorte(z02){\ Displaystyle ln (z_ {01}), ln (z_ {02})}avión. [ 2 ]

En el caso de una secuencia en cuña donde la región de soporte es menor que la de un semiplano. Supongamos que dicha secuencia tiene una región de soporte sobre el primer cuadrante y la región en el segundo cuadrante dondenorte01=−Lnorte02{\displaystyle n_{01}=-Ln_{02}}. Sil{\displaystyle l}se define comol=01+Lnorte02{\displaystyle l=_{01}+Ln_{02}}La nueva transformación Z 2D se convierte en:

incógnitaz(z1,z2)=∑norte1=0∞∑norte2=0∞incógnita(l−Lnorte2,norte2)z1−l+Lnorte2z2−norte2{\displaystyle X_{z}(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }x(l-Ln_{2},n_{2})z_{1}^{-l+Ln_{2}}z_{2}^{-n_{2}}}
Secuencia con región de soporte sobre una cuña y su ROC correspondiente.

Esto converge si:

|z1| ≥ |z01|;|z1−Lz2| ≥ |z01−Lz02|{\displaystyle \left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}\left|z_{01}\right|;\left|z_{1}^{-L}z_{2}\right|{\text{ ≥ }}\left|z_{01}^{-L}z_{02}\right|}

Estas condiciones pueden utilizarse para determinar restricciones en la pendiente del límite de la ROC de manera similar a como se hace con una secuencia del primer cuadrante. [ 2 ] Al hacer esto se obtiene:

lnorte(|z1|) ≥ lnorte(|z01)|){\displaystyle ln(\left|z_{1}\right|){\text{ ≥ }}ln(\left|z_{01})\right|)}ylnorte(|z2|) ≥ Llnorte(|z1)|)+(lnorte(|z02)|)−Llnorte(|z01)|)){\displaystyle ln(\left|z_{2}\right|){\text{ ≥ }}Lln(\left|z_{1})\right|)+(ln(\left|z_{02})\right|)-Lln(\left|z_{01})\right|))}

Secuencias con región de soporte en todos los cuadrantes

Una secuencia con una región de soporte no delimitada puede tener una ROC de cualquier forma, y ​​debe determinarse en función de la secuencia.(norte1,norte2){\displaystyle (n_{1},n_{2})}A continuación se enumeran algunos ejemplos:

incógnitanorte(norte1,norte2)=mi(−norte12−norte22){\displaystyle x_{n}(n_{1},n_{2})=e^{(-n_{1}^{2}-n_{2}^{2})}}

convergerán para todosz1,z2{\displaystyle z_{1},z_{2}}. Mientras:

incógnitanorte(norte1,norte2)=a(norte1)a(norte2),a ≥ 1{\displaystyle x_{n}(n_{1},n_{2})=a^{(n_{1})}a^{(n_{2})},a{\text{ ≥ }}1}

no convergerá para ningún valor dez1,z2{\displaystyle z_{1},z_{2}}Sin embargo, estos son los casos extremos y, por lo general, la transformada Z convergerá sobre un área finita. [ 2 ]

Una secuencia con soporte en todo elnorte1,norte2{\displaystyle n_{1},n_{2}}se puede escribir como la suma de cada secuencia de cuadrantes:

incógnitanorte(norte1,norte2)=incógnita1(norte1,norte2)+incógnita2(norte1,norte2)+incógnita3(norte1,norte2)+incógnita4(norte1,norte2){\displaystyle x_ {n} (n_ {1}, n_ {2}) = x_ {1} (n_ {1}, n_ {2}) + x_ {2} (n_ {1},n_ {2}) + x_ {3} (n_ {1},n_ {2}) + x_ {4} (n_ {1},n_ {2})}

Ahora supongamos que:

incógnita1(norte1,norte2)={incógnitanorte(norte1,norte2),si norte1>0,norte2>00,5incógnitanorte(norte1,norte2),si norte1=0,norte2>0;norte1>0,norte2=00,25incógnitanorte(norte1,norte2),si norte1=norte2=00,othmirwismi{\displaystyle x_{1}(n_{1},n_{2})={\begin{cases}x_{n}(n_{1},n_{2}),&{\mbox{si }}n_{1}>0,n_{2}>0\\0.5x_{n}(n_{1},n_{2}),&{\mbox{si }}n_{1}=0,n_{2}>0;n_{1}>0,n_{2}=0\\0.25x_{n}(n_{1},n_{2}),&{\mbox{si }}n_{1}=n_{2}=0\\0,en otro caso\end{cases}}}

yincógnita2(norte1,norte2),incógnita3(norte1,norte2),incógnita4(norte1,norte2){\ Displaystyle x_ {2} (n_ {1}, n_ {2}), x_ {3} (n_ {1}, n_ {2}), x_ {4} (n_ {1}, n_ {2})}También tienen definiciones similares en sus respectivos cuadrantes. Entonces, la región de convergencia es simplemente la intersección entre las cuatro transformadas Z bidimensionales en cada cuadrante.

Uso de la transformada Z bidimensional para resolver ecuaciones en diferencias

Una ecuación de diferencias bidimensional relaciona la entrada con la salida de un sistema lineal invariante a traslaciones (LSI) de la siguiente manera:

∑k1=0K1−1∑k2=0K2−1b(k1,k2)y(norte1−k1,norte2−k2)=∑r1=0R1−1∑r2=0R2−1a(r1,r2)incógnita(norte1−r1,norte2−r2){\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})y(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2})=\sum _{r_{1}=0}^{R_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{R_{2}-1}a(r_{1},r_{2})x(n_{1}-r_{1},n_{2}-r_{2})}

Debido a las limitaciones de cálculo , se puede suponer que tanto a como b son secuencias de extensión finita. Tras aplicar la transformada Z, la ecuación queda así:

Yz(z1,z2)∑k1=0K1−1∑k2=0K2−1b(k1,k2)z1−k1z2−k2=incógnitaz(z1,z2)∑r1=0R1−1∑r2=0R2−1a(r1,r2)z1−r1z2−r2{\displaystyle Y_{z}(z_{1},z_{2})\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})z_{1}^{-k_{1}}z_{2}^{-k_{2}}=X_{z}(z_{1},z_{2})\sum _{r_{1}=0}^{R_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{R_{2}-1}a(r_{1},r_{2})z_{1}^{-r_{1}}z_{2}^{-r_{2}}}

Esto da como resultado:

Hz(z1,z2)=Yz(z1,z2)incógnitaz(z1,z2)=∑r1=0R1−1∑r2=0R2−1a(r1,r2)z1−r1z2−r2∑k1=0K1−1∑k2=0K2−1b(k1,k2)z1−k1z2−k2=Az(z1,z2)Bz(z1,z2){\displaystyle H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {Y_{z}(z_{1},z_{2})}{X_{z}(z_{1},z_{2})}}={\frac {\sum _{r_{1}=0}^{R_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{R_{2}-1}a(r_{1},r_{2})z_{1}^{-r_{1}}z_{2}^{-r_{2}}}{\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})z_{1}^{-k_{1}}z_{2}^{-k_{2}}}}={\frac {A_{z}(z_{1},z_{2})}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}}

De esta forma, hemos definido la relación entre la entrada y la salida del sistema LSI.

Utilizar la transformada Z 2D para determinar la estabilidad

Teorema de Shanks I

Para un filtro recursivo de primer cuadrante en el queHz(z1,z2)=1Bz(z1,z2){\displaystyle H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {1}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}}. El filtro es estable si y solo si: [ 3 ]

Bz(z1,z2)≠0{\displaystyle B_{z}(z_{1},z_{2})\neq 0}para todos los puntos(z1,z2){\displaystyle (z_{1},z_{2})}de tal manera que|z1| ≥ 1{\displaystyle \left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}1}o|z2| ≥ 1{\displaystyle \left|z_{2}\right|{\text{ ≥ }}1}.

Teorema II de Shanks

Para un filtro recursivo de primer cuadrante en el queHz(z1,z2)=1Bz(z1,z2){\displaystyle H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {1}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}}. El filtro es estable si y solo si: [ 3 ]

Bz(z1,z2)≠0,|z1| ≥ 1,|z2|=1{\displaystyle B_{z}(z_{1},z_{2})\neq 0,\left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}1,\left|z_{2}\right|=1}

Bz(z1,z2)≠0,|z1|=1,|z2| ≥ 1{\displaystyle B_{z}(z_{1},z_{2})\neq 0,\left|z_{1}\right|=1,\left|z_{2}\right|{\text{ ≥ }}1}

Teorema de Huang

Para un filtro recursivo de primer cuadrante en el queHz(z1,z2)=1Bz(z1,z2){\displaystyle H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {1}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}}. El filtro es estable si y solo si: [ 3 ]

Bz(z1,z2)≠0,|z1| ≥ 1,|z2|=1{\displaystyle B_{z}(z_{1},z_{2})\neq 0,\left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}1,\left|z_{2}\right|=1}

Bz(a,z2)≠0,|z2| ≥ 1{\displaystyle B_{z}(a,z_{2})\neq 0,\left|z_{2}\right|{\text{ ≥ }}1}para cualquiera{\displaystyle a}de tal manera que|a| ≥ 1{\displaystyle \left|a\right|{\text{ ≥ }}1}

Teorema de Decarlo y Strintzis

Para un filtro recursivo de primer cuadrante en el queHz(z1,z2)=1Bz(z1,z2){\displaystyle H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {1}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}}. El filtro es estable si y solo si: [ 3 ]

Bz(z1,z2)≠0,|z1|=1,|z2|=1{\displaystyle B_{z}(z_{1},z_{2})\neq 0,\left|z_{1}\right|=1,\left|z_{2}\right|=1}

Bz(a,z2)≠0,|z2| ≥ 1{\displaystyle B_{z}(a,z_{2})\neq 0,\left|z_{2}\right|{\text{ ≥ }}1}para cualquiera{\displaystyle a}de tal manera que|a|=1{\displaystyle \left|a\right|=1}

Bz(z1,b)≠0,|z1| ≥ 1{\displaystyle B_{z}(z_{1},b)\neq 0,\left|z_{1}\right|{\text{ ≥ }}1}para cualquierb{\displaystyle b}de tal manera que|b|=1{\displaystyle \left|b\right|=1}

Cálculo de transformadas Z bidimensionales

Enfoque 1: Secuencias finitas

Para secuencias finitas, la transformada Z 2D es simplemente la suma de la magnitud de cada punto multiplicada porz1,z2{\displaystyle z_{1},z_{2}}elevado a la potencia inversa de la ubicación del punto correspondiente. Por ejemplo, la secuencia:

incógnita(norte1,norte2)=3δ(norte1,norte2)+6δ(norte1−1,norte2)+2δ(norte1,norte2−1)+4δ(norte1−1,norte2−1){\displaystyle x(n_{1},n_{2})=3\delta (n_{1},n_{2})+6\delta (n_{1}-1,n_{2})+2\delta (n_{1},n_{2}-1)+4\delta (n_{1}-1,n_{2}-1)}

tiene la transformación Z:

incógnita(z1,z2)=3+6z1−1+2z2−1+4z1−1z2−1{\displaystyle X(z_{1},z_{2})=3+6z_{1}^{-1}+2z_{2}^{-1}+4z_{1}^{-1}z_{2}^{-1}}

Como se trata de una secuencia finita, la ROC es para todosz1,z2{\displaystyle z_{1},z_{2}}.

Enfoque 2: Secuencias con valores a lo largo de solonorte1{\displaystyle n_{1}}onorte2{\displaystyle n_{2}}

Para una secuencia con una región de soporte en solonorte1=0{\displaystyle n_{1}=0}onorte2=0{\displaystyle n_{2}=0}La secuencia puede tratarse como una señal 1D y la transformada Z 1D puede utilizarse para calcular la transformada Z 2D. Por ejemplo, la secuencia:

incógnitaz(z1,z2)={δ(norte1),si 0≤norte2≤norte−10,othmirwismi{\displaystyle X_{z}(z_{1},z_{2})={\begin{cases}\delta (n_{1}),&{\mbox{if }}0{\text{≤}}n_{2}{\text{≤}}N-1\\0,otherwise\end{cases}}}

Está claramente dado portú[norte2]−tú[norte2−norte]{\displaystyle u[n_{2}]-u[n_{2}-N]}.

Por lo tanto, su transformada Z viene dada por:

incógnitaz(z1,z2)=1+z2−1+z2−2+...+z2−norte+1{\displaystyle X_{z}(z_{1},z_{2})=1+z_{2}^{-1}+z_{2}^{-2}+...+z_{2}^{-N+1}}

incógnitaz(z1,z2)={norte,si z2=11−z2−norte1−z2−1,othmirwismi{\displaystyle X_{z}(z_{1},z_{2})={\begin{cases}N,&{\mbox{if }}z_{2}=1\\{\frac {1-z_{2}^{-N}}{1-z_{2}^{-1}}},otherwise\end{cases}}}

Como se trata de una secuencia finita, la ROC es para todosz1,z2{\displaystyle z_{1},z_{2}}.

Enfoque 3: Secuencias separables

Una secuencia separable se define comoincógnita(norte1,norte2)=F(norte1)gramo(norte2){\displaystyle x(n_{1},n_{2})=f(n_{1})g(n_{2})}

Para una secuencia separable, encontrar la transformada Z bidimensional es tan simple como separar la secuencia y tomar el producto de la transformada Z unidimensional de cada señal.F(norte1){\displaystyle f(n_{1})}ygramo(norte2){\displaystyle g(n_{2})}Por ejemplo, consideremos la secuencia

incógnita(norte1,norte2)=anorte1+norte2tú[norte1,norte2]=anorte1tú[norte1]anorte2tú[norte2]=F(norte1)gramo(norte2){\displaystyle x(n_{1},n_{2})=a^{n_{1}+n_{2}}u[n_{1},n_{2}]=a^{n_{1}}u[n_{1}]a^{n_{2}}u[n_{2}]=f(n_{1})g(n_{2})}.

Su transformada Z viene dada por

incógnitaz(z1,z2)=Fz(z1)GRAMO(z2)=(11−az1−1)(11−az2−1)=1(1−az1−1)(1−az2−1){\displaystyle X_{z}(z_{1},z_{2})=F_{z}(z_{1})G(z_{2})=({\frac {1}{1-az_{1}^{-1}}})({\frac {1}{1-az_{2}^{-1}}})={\frac {1}{(1-az_{1}^{-1})(1-az_{2}^{-1})}}}.

El ROC viene dado por

|z1|>|a|{\displaystyle \left|z_{1}\right|>\left|a\right|} ;|z2|>|a|{\displaystyle \left|z_{2}\right|>\left|a\right|}.

Referencias

  1. ↑ Siamak Khatibi, “Procesamiento de señales multidimensionales: Lección 11”, BLEKINGE INSTITUTE OF TECHNOLOGY, Presentación de PowerPoint.
  2. 1 2 3 4 5 Dan E. Dudgeon, Russell M. Mersereau, “Procesamiento de señales digitales multidimensionales”, Serie de procesamiento de señales de Prentice-Hall, ISBN 0136049591, 1983.
  3. 1 2 3 4 Ed. Alexander D. Poularikas, “Manual de fórmulas y tablas para el procesamiento de señales”, Boca Raton: CRC Press LLC, 1999.