Estrategia de Zeuthen

La estrategia de Zeuthen en la ciencia cognitiva es una estrategia de negociación utilizada por algunos agentes artificiales . Su propósito es medir la disposición a arriesgarse a un conflicto . ^{[ 1 ]} Un agente estará más dispuesto a arriesgarse a un conflicto si no tiene mucho que perder en caso de que la negociación fracase. Por el contrario, un agente estará menos dispuesto a arriesgarse a un conflicto cuando tenga más que perder. El valor de un acuerdo se expresa en su utilidad. Un agente tiene mucho que perder cuando la diferencia entre la utilidad de su propuesta actual y el acuerdo de conflicto es alta.

Cuando ambos agentes utilizan el protocolo de concesión monótona , la estrategia de Zeuthen los lleva a acordar un trato en el conjunto de negociación. Este conjunto consta de todos los tratos libres de conflicto, que son individualmente racionales y óptimos de Pareto , y el trato con conflicto, que maximiza el producto de Nash .

La estrategia fue introducida en 1930 por el economista danés Frederik Zeuthen . ^{[ 2 ]}

La estrategia de Zeuthen responde a tres preguntas abiertas que surgen al utilizar el protocolo de concesión monótona , a saber:

1. ¿Qué acuerdo debería proponerse en primer lugar?
2. En cualquier ronda, ¿quién debería conceder la derrota?
3. En caso de concesión, ¿cuánto debería conceder el agente?

La respuesta a la primera pregunta es que cualquier agente debería comenzar con su acuerdo preferido, porque ese acuerdo tiene la mayor utilidad para ese agente. ^{[ 3 ]} La segunda respuesta es que el agente con el menor valor de Riesgo(i,t) cede, porque el agente con la menor utilidad para el acuerdo de conflicto se beneficia más al evitar el conflicto. Respecto a la tercera pregunta, la estrategia de Zeuthen sugiere que el agente que cede debería ceder lo suficiente como para elevar su valor de Riesgo(i,t) ligeramente por encima del del otro agente. Esto evita que el agente que cede tenga que ceder de nuevo en la siguiente ronda.

${\displaystyle {\text{Riesgo}}(i,t)={\begin{cases}1&U_{i}(\delta (i,t))=0\\{\frac {U_{i}(\delta (i,t))-U_{i}(\delta (j,t))}{U_{i}(\delta (i,t))}}&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

Risk(i,t) es una medida del agente i.la disposición de un agente a arriesgarse a un conflicto. La función de riesgo formaliza la noción de que la disposición de un agente a arriesgarse a un conflicto es la razón entre la utilidad que perdería al aceptar la propuesta del otro agente y la utilidad que perdería al causar un conflicto. Se dice que el agente i está utilizando una estrategia de negociación racional si en cualquier paso t  +  1 el agente i se mantiene firme en su última propuesta, Riesgo(i,t)  >  Riesgo(j,t) .

Si el agente i hace una concesión suficiente en el siguiente paso, entonces, suponiendo que el agente j está utilizando una estrategia de negociación racional, si el agente j no hace ninguna concesión en el siguiente paso, debe hacerlo en el paso posterior. El conjunto de todas las concesiones suficientes del agente i en el paso t se denota como SC(i,  t) .

${\displaystyle \delta '=\arg \max _{\delta \in {SC(A,t)}}\{U_{A}(\delta )\}}$

es la concesión mínima suficiente del agente A en el paso t .

El agente A inicia la negociación proponiendo:

${\displaystyle \delta (A,0)=\arg \max _{\delta \in {NS}}U_{A}(\delta )}$

y hará la concesión mínima suficiente en el paso t + 1 si y solo si Riesgo(A,t) ≤ Riesgo(B,t) .

Teorema Si ambos agentes están utilizando estrategias de Zeuthen, entonces estarán de acuerdo en

${\displaystyle \delta =\arg \max _{\delta '\in {NS}}\{\pi (\delta ')\},}$

es decir, el acuerdo que maximiza el producto de Nash. ^{[ 4 ]}

Demostración Sea δ _A = δ(A,t). Sea δ _B = δ(B,t). Según la estrategia de Zeuthen, el agente A cederá en el paso${\displaystyle t}$si y solo si

${\displaystyle Riesgo(A,t)\leq Riesgo(B,t).}$

Es decir, si y solo si

${\displaystyle {\frac {U_{A}(\delta _{A})-U_{A}(\delta _{B})}{U_{A}(\delta _{A})}}\leq {\frac {U_{B}(\delta _{B})-U_{B}(\delta _{A})}{U_{B}(\delta _{B})}}}$

${\displaystyle U_{B}(\delta _{B})(U_{A}(\delta _{A})-U_{A}(\delta _{B}))\leq U_{A}(\delta _{A})(U_{B}(\delta _{B})-U_{B}(\delta _{A}))}$

${\displaystyle U_{A}(\delta _{A})U_{B}(\delta _{B})-U_{A}(\delta _{B})U_{B}(\delta _{B})\leq U_{A}(\delta _{A})U_{B}(\delta _{B})-U_{A}(\delta _{A})U_{B}(\delta _{A})}$

${\displaystyle -U_{A}(\delta _{B})U_{B}(\delta _{B})\leq -U_{A}(\delta _{A})U_{B}(\delta _{A})}$

${\ Displaystyle U_ {A} (\ delta _ {A}) U_ {B} (\ delta _ {A}) \ leq U_ {A} (\ delta _ {B}) U_ {B} (\ delta _ {B})}$

${\displaystyle \pi (\delta _{A})\leq \pi (\delta _{B})}$

Por lo tanto, el Agente A cederá si y solo si${\displaystyle \delta _{A}}$no produce el producto mayor de utilidades.

Por lo tanto, la estrategia de Zeuthen garantiza un acuerdo final que maximiza el producto de Nash.