El problema de navegación de Zermelo

En optimización matemática , el problema de navegación de Zermelo , propuesto en 1931 por Ernst Zermelo , es un problema clásico de control óptimo que trata sobre un barco que navega en una masa de agua, partiendo de un punto${\displaystyle A}$a un punto de destino${\displaystyle B}$. La embarcación es capaz de alcanzar una cierta velocidad máxima, y ​​el objetivo es obtener el mejor control posible para alcanzarla.${\displaystyle B}$en el menor tiempo posible.

Sin tener en cuenta fuerzas externas como la corriente y el viento, el control óptimo es que el barco siempre se dirija hacia${\displaystyle B}$Su trayectoria es entonces un segmento de línea desde${\displaystyle A}$a ${\displaystyle B}$, lo cual es trivialmente óptimo. Al considerar la corriente y el viento, si la fuerza combinada aplicada a la embarcación no es cero, el control para ausencia de corriente y viento no produce la trayectoria óptima.

En su artículo de 1931, ^{[ 1 ]} Ernst Zermelo formula el siguiente problema:

En un plano ilimitado donde la distribución del viento viene dada por un campo vectorial en función de la posición y el tiempo, un barco se mueve con velocidad constante respecto a la masa de aire circundante. ¿Cómo debe dirigirse el barco para llegar desde un punto de partida a un destino determinado en el menor tiempo posible?

Esta es una extensión del problema de optimización clásico para geodésicas : minimizar la longitud de una curva.${\displaystyle I[c]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx}$ puntos de conexión${\displaystyle A}$ y${\displaystyle B}$con la complejidad añadida de considerar la velocidad del viento. Si bien suele ser imposible encontrar una solución exacta en la mayoría de los casos, el caso general fue resuelto por el propio Zermelo en forma de una ecuación diferencial parcial , conocida como la ecuación de Zermelo, que puede resolverse numéricamente.

El problema de la navegación de un dirigible rodeado de aire fue presentado por primera vez en 1929 en una conferencia por Ernst Zermelo, quien se inspiró en la circunnavegación del Graf Zeppelin en agosto de 1929. Otros matemáticos abordaron el desafío en los años siguientes. La técnica predominante para resolver las ecuaciones es el cálculo de variaciones . ^{[ 2 ]}

El caso de viento constante es fácil de resolver exactamente. ^{[ 3 ]} Sea${\displaystyle \mathbf {d} ={\vec {AB}}}$y supongamos que para minimizar el tiempo de viaje el barco viaja a una velocidad máxima constante.${\displaystyle V}$. Por lo tanto, la posición del barco en el momento${\displaystyle t}$es${\displaystyle \mathbf {x} =t(\mathbf {v} +\mathbf {w} )}$. Dejar${\displaystyle T}$sea ​​la hora de llegada a${\displaystyle B}$, de modo que${\displaystyle \mathbf {d} =T(\mathbf {v} +\mathbf {w} )}$. Tomando el producto escalar de esto con${\displaystyle \mathbf {w} }$y${\displaystyle \mathbf {d} }$respectivamente da como resultado ${\displaystyle {\vec {d}}\cdot {\vec {w}}=T(\mathbf {v} \cdot {\vec {w}}+\mathbf {w} ^{2})}$y${\displaystyle d^{2}=T^{2}(v^{2}+2{\vec {v}}\cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} ^{2})}$. Eliminando${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}}$y escribiendo este sistema como una ecuación cuadrática en${\displaystyle T}$resultados en${\displaystyle ({\vec {v}}^{2}-{\vec {w}}^{2})T^{2}+2(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )T-\mathbf {d} ^{2}=0}$. Al resolver esto, tomando la raíz cuadrada positiva ya que${\displaystyle T}$es positivo, obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}T[\mathbf {d} ]&={\frac {-2(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )\pm {\sqrt {4(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )^{2}+4\mathbf {d} ^{2}(\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2})}}}{2(\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2})}}\\[8pt]&={\sqrt {{\frac {\mathbf {d} ^{2}}{\mathbf {v} ^{2}-{\vec {w}}^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )^{2}}{({\vec {v}}^{2}-{\vec {w}}^{2})^{2}}}}}-{\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} }{\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2}}}\end{aligned}}}$

Afirmación: Esto define una métrica en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, proporcionó${\displaystyle |\mathbf {v} |>|\mathbf {w} |}$.

Consideremos el ejemplo general de un barco que se mueve contra un viento variable.${\displaystyle {\vec {w}}(x,y)}$. Escribiendo esto componente por componente, tenemos la deriva en el${\displaystyle x}$eje como${\displaystyle u(x,y)}$y la deriva en el${\displaystyle y}$eje como${\displaystyle v(x,y)}$Entonces, para un barco que se mueve a velocidad máxima${\displaystyle V}$en el encabezado variable${\displaystyle \theta }$, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=V\cos \theta +u(x,y)\\{\dot {y}}&=V\sin \theta +v(x,y)\end{aligned}}}$

El hamiltoniano del sistema es, por lo tanto,

${\displaystyle H=\lambda _{x}(V\cos \theta +u)+\lambda _{y}(V\sin \theta +v)+1}$

Utilizando la ecuación de Euler-Lagrange , obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\lambda }}_{x}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\lambda _{x}{\frac {\partial u}{\partial x}}-\lambda _{y}{\frac {\partial v}{\partial x}}\\{\dot {\lambda }}_{y}&=-{\frac {\partial H}{\partial y}}=-\lambda _{x}{\frac {\partial u}{\partial y}}-\lambda _{y}{\frac {\partial v}{\partial y}}\\0&={\frac {\partial H}{\partial \theta }}=V(-\lambda _{x}\sin \theta +\lambda _{y}\cos \theta )\end{aligned}}}$

La última ecuación implica que${\displaystyle \tan \theta =\lambda _{y}/\lambda _{x}}$Observamos que el sistema es autónomo; el hamiltoniano no depende del tiempo.${\displaystyle t}$, de este modo${\displaystyle H}$= constante, pero como estamos minimizando el tiempo, la constante es igual a 0. Por lo tanto, podemos resolver el sistema de ecuaciones anterior para obtener ^{[ 4 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{x}&={\frac {-\cos \theta }{V+u\cos \theta +v\sin \theta }}\\[6pt]\lambda _{y}&={\frac {-\sin \theta }{V+u\cos \theta +v\sin \theta }}\end{aligned}}}$

Sustituyendo estos valores en nuestras ecuaciones EL se obtiene la ecuación diferencial.

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\sin ^{2}\theta {\frac {\partial v}{\partial x}}+\sin \theta \cos \theta \left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)-\cos ^{2}\theta {\frac {\partial u}{\partial y}}}$

Este resultado se conoce como la ecuación de Zermelo. Resolverla con nuestro sistema nos permite encontrar la ruta óptima general.

• Juego diferencial
• Geometría de Finsler