Función omega de Wright

En matemáticas , la función omega de Wright o función de Wright , ^{[ nota 1 ]} denotada ω , se define en términos de la función W de Lambert como:

${\displaystyle \omega (z)=W_{{\big \lceil }{\frac {\mathrm {Estoy} (z)-\pi }{2\pi }}{\big \rceil }}(e^{z}).}$

Es más sencillo definirlo mediante su función inversa.

${\displaystyle z(\omega )=\ln(\omega )+\omega }$

Una de las principales aplicaciones de esta función es la resolución de la ecuación z  =  ln( z ), ya que la única solución viene dada por z  = e ^{− ω( π i )} .  

y = ω( z ) es la solución única, cuando${\displaystyle z\neq x\pm i\pi }$para x ≤ − 1, de la ecuación y + ln( y ) = z . Excepto para esos dos valores, la función omega de Wright es continua , incluso analítica .      

La función omega de Wright satisface la relación${\displaystyle W_{k}(z)=\omega (\ln(z)+2\pi ik)}$.

También satisface la ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dz}}={\frac {\omega }{1+\omega }}}$

dondequiera que ω sea analítica (como se puede ver al realizar la separación de variables y recuperar la ecuación)${\displaystyle \ln(\omega )+\omega =z}$y, en consecuencia, su integral puede expresarse como:

${\displaystyle \int \omega ^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{si }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{si }}n=-1.\end{cases}}}$

Su serie Taylor alrededor del punto${\displaystyle a=\omega _{a}+\ln(\omega _{a})}$toma la forma  :

${\displaystyle \omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(za)^{n}}{n!}}}$

dónde

${\displaystyle q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}}$

en el cual

${\displaystyle {\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }}$

es un número euleriano de segundo orden .

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0.56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm i\pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2.237147028\\\end{array}}}$

• Gráficas de la función omega de Wright en el plano complejo
• 
  ${\displaystyle \Re \{\omega (z)\}}$
• 
  ${\displaystyle \Soy \{\omega (z)\}}$
• 
  ${\displaystyle |\omega (z)|}$