Distribución exponencial envuelta

En teoría de probabilidad y estadística direccional , una distribución exponencial envuelta es una distribución de probabilidad envuelta que resulta de la "envoltura" de la distribución exponencial alrededor del círculo unitario .

La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial envuelta es ^[1]

${\displaystyle f_{WE}(\theta ;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda (\theta +2\pi k)}={\frac {\lambda e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}},}$

donde es el parámetro de velocidad de la distribución desdoblada. Esta es idéntica a la distribución truncada obtenida al restringir los valores observados X de la distribución exponencial con parámetro de velocidad λ al rango . Nótese que esta distribución no es periódica. ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle 0\leq X<2\pi }$

La función característica de la exponencial envuelta es simplemente la función característica de la función exponencial evaluada en argumentos enteros:

${\displaystyle \varphi _{n}(\lambda )={\frac {1}{1-in/\lambda }}}$

que produce una expresión alternativa para la PDF exponencial envuelta en términos de la variable circular z=e ^{i (θ-m)} válida para todos los θ y m reales:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{WE}(z;\lambda )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {z^{-n}}{1-in/\lambda }}\\[10pt]&={\begin{cases}{\frac {\lambda }{\pi }}\,{\textrm {Im}}(\Phi (z,1,-i\lambda ))-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]{\frac {\lambda }{1-e^{-2\pi \lambda }}}&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}$

¿Dónde está la función trascendente de Lerch ?${\displaystyle \Phi ()}$

En términos de la variable circular, los momentos circulares de la distribución exponencial envuelta son la función característica de la distribución exponencial evaluada en argumentos enteros: ${\displaystyle z=e^{i\theta }}$

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WE}(\theta ;\lambda )\,d\theta ={\frac {1}{1-in/\lambda }},}$

donde es un intervalo de longitud . El primer momento es entonces el valor medio de z , también conocido como resultante media o vector resultante medio: ${\displaystyle \Gamma \,}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \langle z\rangle ={\frac {1}{1-i/\lambda }}.}$

El ángulo medio es

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\arctan(1/\lambda ),}$

y la longitud de la resultante media es

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |={\frac {\lambda }{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}.}$

y la varianza es entonces 1- R .

La distribución exponencial envuelta es la distribución de probabilidad de entropía máxima para distribuciones restringidas al rango para un valor fijo de la expectativa . ^[1]${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$${\displaystyle \operatorname {E} (\theta )}$

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