Código Wolfram

El código de Wolfram es un sistema de numeración ampliamente utilizado ^{[ 1 ]} para reglas de autómatas celulares unidimensionales , introducido por Stephen Wolfram en un artículo de 1983 ^{[ 2 ]} y popularizado en su libro A New Kind of Science . ^{[ 3 ]}

El código se basa en la observación de que una tabla que especifica el nuevo estado de cada celda del autómata, en función de los estados de su vecindario, puede interpretarse como un número de k dígitos en el ^{sistema de numeración posicional S-ario, donde S es el número de estados que puede tener cada celda del autómata, k = S²ⁿ} + 1 ^es el número de configuraciones  de  vecindario ^{y n} es el radio del vecindario. Por lo tanto, el código Wolfram para una regla particular es un número en el rango de 0 a S²ⁿ ^{+ 1 −} 1 , convertido de notación S -aria a decimal . Se puede calcular ^{de la} siguiente manera:    

1. Enumera todas las S ^{2 n  +  1} posibles configuraciones de estado del vecindario de una celda dada.
2. Interpretando cada configuración como un número, tal como se describió anteriormente, ordénelas en orden numérico descendente.
3. Para cada configuración, indique el estado que tendrá la celda dada, según esta regla, en la siguiente iteración.
4. Interprete nuevamente la lista de estados resultante como un número S -ario y convierta este número a decimal. El número decimal resultante es el código Wolfram.

El código de Wolfram no especifica el tamaño (ni la forma) del vecindario, ni el número de estados; se asume que estos se conocen por el contexto. Cuando se usan solos, sin dicho contexto, a menudo se asume que los códigos se refieren a la clase de autómatas celulares elementales , autómatas celulares unidimensionales de dos estados con un vecindario (contiguo) de tres celdas, que Wolfram investiga extensamente en su libro. Las reglas notables de esta clase incluyen la regla 30 , la regla 110 y la regla 184. La regla 90 también es interesante porque crea el triángulo de Pascal módulo 2. Un código de este tipo con el sufijo R, como "Regla 37R", indica un autómata celular de segundo orden con la misma estructura de vecindario.

Si bien, en sentido estricto, cada código Wolfram dentro del rango válido define una regla diferente, algunas de estas reglas son isomorfas y generalmente se consideran equivalentes. Por ejemplo, la regla 110 es isomorfa con las reglas 124, 137 y 193, que se pueden obtener a partir de la original mediante reflexión izquierda-derecha y renumerando los estados. Por convención, cada clase de isomorfismo se representa mediante la regla con el código más bajo. Una desventaja de la notación Wolfram, y en particular del uso de la notación decimal, es que dificulta la visualización de estos isomorfismos en comparación con otras notaciones. A pesar de ello, se ha convertido en el estándar de facto para referirse a autómatas celulares unidimensionales.

El número de reglas posibles, R , para un autómata celular generalizado en el que cada celda puede asumir uno de S estados determinados por un tamaño de vecindario de n , en un espacio D -dimensional viene dado por: R = S ^{S (2n+1) D}

El ejemplo más común tiene S = 2 , n = 1 y D = 1 , lo que da R = 256. El número de reglas posibles tiene una dependencia extrema de la dimensionalidad del sistema. Por ejemplo, aumentar el número de dimensiones ( D ) de 1 a 2 aumenta el número de reglas posibles de 256 a ²⁵¹² ( que es ~1,341 × ^10¹⁵⁴ ).