Matriz de Wilson

La matriz de Wilson es la siguiente${\displaystyle 4\times 4}$Matriz con elementos enteros: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle W={\begin{bmatrix}5&7&6&5\\7&10&8&7\\6&8&10&9\\5&7&9&10\end{bmatrix}}}$

Esta es la matriz de coeficientes del siguiente sistema de ecuaciones lineales considerado en un artículo de J. Morris publicado en 1946: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\text{(S1)}}\quad {\begin{aligned}5x+7y+6z+5u&=23\\7x+10y+8z+7u&=32\\6x+8y+10z+9u&=33\\5x+7y+9z+10u&=31\end{aligned}}}$

Morris atribuye la autoría del conjunto de ecuaciones a un tal T.S. Wilson, pero no se han proporcionado detalles sobre Wilson. Morris utilizó este sistema de ecuaciones en particular para ilustrar el concepto de sistema de ecuaciones mal condicionado. La matriz${\displaystyle W}$Se ha utilizado como ejemplo y con fines de prueba en muchos artículos de investigación y libros a lo largo de los años. John Todd se ha referido a${\displaystyle W}$como “la notoria matriz W de TS Wilson”. ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle W}$es una matriz simétrica .
2. ${\displaystyle W}$es definida positiva .
3. El determinante de${\displaystyle W}$es${\displaystyle 1}$.
4. Lo contrario de${\displaystyle W}$es${\displaystyle W^{-1}={\begin{bmatrix}68&-41&-17&10\\-41&25&10&-6\\-17&10&5&-3\\10&-6&-3&2\end{bmatrix}}}$
5. El polinomio característico de${\displaystyle W}$es${\displaystyle \lambda ^{4}-35\lambda ^{3}+146\lambda ^{2}-100\lambda +1}$.
6. Los valores propios de${\displaystyle W}$son${\displaystyle \quad 0.01015004839789187,\quad 0.8431071498550294,\quad 3.858057455944953,\quad 30.28868534580213}$.
7. Desde${\displaystyle W}$es simétrico, el${\displaystyle L^{2}}$número de condición normal de${\displaystyle W}$es${\displaystyle \kappa _{2}(W)={\frac {max(\lambda )}{min(\lambda )}}={\frac {30.28868534580213}{0.01015004839789187}}=2984.09270167549}$.
8. La solución del sistema de ecuaciones${\displaystyle (S1)}$es${\displaystyle x=y=z=u=1}$.
9. La factorización de Cholesky de${\displaystyle W}$es${\displaystyle W=R^{T}R}$dónde${\displaystyle R={\begin{bmatrix}{\sqrt {5}}&{\frac {7}{\sqrt {5}}}&{\frac {6}{\sqrt {5}}}&{\sqrt {5}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {5}}}&-{\frac {2}{\sqrt {5}}}&0\\0&0&{\sqrt {2}}&{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\0&0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}$.
10. ${\displaystyle W}$tiene la factorización${\displaystyle W=LDL^{T}}$dónde${\displaystyle L={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\{\frac {7}{5}}&1&0&0\\{\frac {6}{5}}&-2&1&0\\1&0&{\frac {3}{2}}&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}5&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$.
11. ${\displaystyle W}$tiene la factorización${\displaystyle W=Z^{T}Z}$con${\displaystyle Z}$como la matriz entera ^{[ 7 ]}${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}2&3&2&2\\1&1&2&1\\0&0&1&2\\0&0&1&1\end{bmatrix}}}$.

Una consideración del número de condición de la matriz de Wilson ha generado varios problemas de investigación interesantes relacionados con los números de condición de matrices en ciertas clases especiales de matrices que poseen algunas o todas las características especiales de la matriz de Wilson. En particular, se han estudiado las siguientes clases especiales de matrices: ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle S=}$el conjunto de${\displaystyle 4\times 4}$Matrices simétricas no singulares con entradas enteras entre 1 y 10.
2. ${\displaystyle P=}$el conjunto de${\displaystyle 4\times 4}$Matrices simétricas definidas positivas con entradas enteras entre 1 y 10.

Un cálculo exhaustivo de los números de condición de las matrices en los conjuntos anteriores ha arrojado los siguientes resultados:

1. Entre los elementos de${\displaystyle S}$, el número de condición máximo es${\displaystyle 7.6119\times 10^{4}}$y este máximo se alcanza mediante la matriz${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&7&10&10\\7&10&10&9\\10&10&10&1\\10&9&1&10\end{bmatrix}}}$.
2. Entre los elementos de${\displaystyle P}$, el número de condición máximo es${\displaystyle 3.5529\times 10^{4}}$y este máximo se alcanza mediante la matriz${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&1&1&5\\1&10&1&9\\1&1&10&1\\5&9&1&10\end{bmatrix}}}$.