transformación blanqueadora

Una transformación de blanqueamiento o transformación esférica es una transformación lineal que transforma un vector de variables aleatorias con una matriz de covarianza conocida en un conjunto de nuevas variables cuya covarianza es la matriz identidad , lo que significa que no están correlacionadas y cada una tiene varianza 1. ^{[ 1 ]} La transformación se llama "blanqueamiento" porque cambia el vector de entrada en un vector de ruido blanco .

Otras transformaciones están estrechamente relacionadas con el blanqueamiento:

1. La transformación de decorrelación elimina únicamente las correlaciones, pero deja intactas las varianzas.
2. La transformación de estandarización establece las varianzas en 1 pero deja las correlaciones intactas,
3. Una transformación de coloración transforma un vector de variables aleatorias blancas en un vector aleatorio con una matriz de covarianza especificada. ^{[ 2 ]}

Suponer${\displaystyle X}$es un vector (columna) aleatorio con matriz de covarianza no singular${\displaystyle \Sigma }$y significa${\displaystyle 0}$. Luego la transformación${\displaystyle Y=WX}$con una matriz blanqueadora${\displaystyle W}$satisfaciendo la condición${\displaystyle W^{\mathrm {T} }W=\Sigma ^{-1}}$produce el vector aleatorio blanqueado${\displaystyle Y}$con covarianza diagonal unitaria.

Si${\displaystyle X}$tiene media distinta de cero${\displaystyle \mu }$, entonces el blanqueamiento se puede realizar mediante${\displaystyle Y=W(X-\mu )}$.

Existen infinitas matrices de blanqueamiento posibles${\displaystyle W}$que todas cumplan la condición anterior. Las opciones más utilizadas son:${\displaystyle W=\Sigma ^{-1/2}}$(blanqueamiento Mahalanobis o ZCA),${\displaystyle W=L^{T}}$dónde${\displaystyle L}$es la descomposición de Cholesky de${\displaystyle \Sigma ^{-1}}$(blanqueamiento de Cholesky), ^{[ 3 ]} o el sistema propio de${\displaystyle \Sigma }$(Blanqueamiento con PCA). ^{[ 4 ]}

Las transformaciones de blanqueamiento óptimas se pueden identificar investigando la covarianza cruzada y la correlación cruzada de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, la transformación de blanqueamiento óptima única que logra la máxima correlación por componentes entre el original${\displaystyle X}$y blanqueado${\displaystyle Y}$es producido por la matriz blanqueadora${\displaystyle W=P^{-1/2}V^{-1/2}}$ dónde${\displaystyle P}$es la matriz de correlación y${\displaystyle V}$la matriz de varianza diagonal.

El blanqueamiento de una matriz de datos sigue la misma transformación que para las variables aleatorias. Se obtiene una transformación de blanqueamiento empírica estimando la covarianza (por ejemplo, mediante máxima verosimilitud ) y construyendo posteriormente una matriz de blanqueamiento estimada correspondiente (por ejemplo, mediante descomposición de Cholesky ).

Esta modalidad es una generalización del procedimiento de preblanqueamiento extendido a espacios más generales donde${\displaystyle X}$Por lo general, se supone que es una función aleatoria u otros objetos aleatorios en un espacio de Hilbert.${\displaystyle H}$Uno de los principales problemas de extender el blanqueamiento a dimensiones infinitas es que el operador de covarianza tiene una inversa no acotada en${\displaystyle H}$Por lo tanto, en dimensiones infinitas solo es posible una estandarización parcial. Un operador de blanqueamiento puede definirse a partir de la factorización de un operador de covarianza degenerado. Las características de alta dimensión de los datos pueden aprovecharse mediante regresores de núcleo o sistemas de funciones base. ^{[ 5 ]}

Una implementación de varios procedimientos de blanqueamiento en R , incluyendo blanqueamiento ZCA y PCA, así como blanqueamiento CCA , está disponible en el paquete de R "whitening" ^{[ 6 ]} publicado en CRAN . El paquete de R "pfica" ^{[ 7 ]} permite el cálculo de representaciones de blanqueamiento de alta dimensión utilizando sistemas de funciones base ( B-splines , base de Fourier , etc.).

• Decorrelación
• Análisis de componentes principales
• mínimos cuadrados ponderados
• Correlación canónica
• Distancia de Mahalanobis (es euclidiana después de la transformación de W.).

• https://courses.media.mit.edu/2010fall/mas622j/whiten.pdf
• La transformación de blanqueamiento ZCA . Apéndice A de Aprendizaje de múltiples capas de características a partir de imágenes diminutas por A. Krizhevsky.