Modelo Vicsek

El modelo de Vicsek es un modelo matemático utilizado para describir la materia activa. Una de las motivaciones del estudio de la materia activa por parte de los físicos es la rica fenomenología asociada a este campo. El movimiento colectivo y el enjambre se encuentran entre los fenómenos más estudiados. Dentro de la gran cantidad de modelos que se han desarrollado para capturar dicho comportamiento a partir de una descripción microscópica, el más famoso es el modelo introducido por Tamás Vicsek et al. en 1995. ^{[ 1 ]}

Los físicos tienen gran interés en este modelo, ya que es minimalista y describe una especie de universalidad . Consiste en partículas puntuales autopropulsadas que evolucionan a velocidad constante y alinean su velocidad con la de sus vecinas en presencia de ruido. Este modelo muestra movimiento colectivo a alta densidad de partículas o con bajo nivel de ruido en la alineación.

Dado que este modelo busca ser minimalista, asume que el comportamiento de bandada se debe a la combinación de algún tipo de autopropulsión y alineación efectiva. Como la velocidad de cada partícula es constante, el momento neto del sistema no se conserva durante las colisiones.

Un individuo se describe por su posición y el ángulo que define la dirección de su velocidad en el instante . La evolución temporal discreta de una partícula se establece mediante dos ecuaciones: ${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}(t)}$${\displaystyle \Theta _{i}(t)}$${\displaystyle t}$

1. En cada paso de tiempo , cada agente se alinea con sus vecinos dentro de una distancia determinada con una incertidumbre debida al ruido : ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \eta _{i}(t)}$
   • ${\displaystyle \Theta _{i}(t+\Delta t)=\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}+\eta _{i}(t)}$
2. La partícula se mueve entonces a velocidad constante en la nueva dirección: ${\displaystyle v}$
   • ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}(t+\Delta t)=\mathbf {r} _{i}(t)+v\Delta t{\begin{pmatrix}\cos \Theta _{i}(t)\\\sin \Theta _{i}(t)\end{pmatrix}}}$

En estas ecuaciones, denota la dirección promedio de las velocidades de las partículas (incluida la partícula ) dentro de un círculo de radio que rodea a la partícula . La velocidad normalizada promedio actúa como parámetro de orden para este sistema y viene dada por . ${\displaystyle \langle \Theta _ {j} \rangle _ {|r_ {i}-r_ {j}|<r}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle r}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{a}={\frac {1}{Nv}}{\Biggl |}\sum _{i=1}^{N}v_{i}\,{\Biggr |}}$

Todo el modelo está controlado por tres parámetros: la densidad de partículas, la amplitud del ruido en la alineación y la relación entre la distancia de recorrido y el rango de interacción . A partir de estas dos sencillas reglas de iteración, se han elaborado diversas teorías continuas ^{[ 2 ]} , como la teoría de Toner-Tu ^{[ 3 ]} , que describe el sistema a nivel hidrodinámico. Se ha desarrollado una teoría cinética tipo Enskog , válida para cualquier densidad de partículas ^{[ 4 ]} . Esta teoría describe cuantitativamente la formación de ondas de densidad pronunciadas, también llamadas ondas de invasión, cerca de la transición al movimiento colectivo ^{[ 5 ] .}${\displaystyle v\Delta t}$${\displaystyle r}$

Este modelo muestra una transición de fase ^{[ 6 ]} de un movimiento desordenado a un movimiento ordenado a gran escala. Con ruido alto o baja densidad, las partículas no están alineadas en promedio y pueden describirse como un gas desordenado. Con ruido bajo y alta densidad, las partículas están globalmente alineadas y se mueven en la misma dirección ( movimiento colectivo ). Este estado se interpreta como un líquido ordenado. La transición entre estas dos fases no es continua; de hecho, el diagrama de fases del sistema exhibe una transición de fase de primer orden con una separación de microfases. En la región de coexistencia, bandas líquidas de tamaño finito ^{[ 7 ]} emergen en un entorno gaseoso y se mueven a lo largo de su dirección transversal. Recientemente, se ha descubierto una nueva fase: una fase de mar cruzado polar ordenada de ondas de densidad con un ángulo de cruce inherentemente seleccionado. ^{[ 8 ]} Esta organización espontánea de partículas personifica el movimiento colectivo .

Desde su aparición en 1995, este modelo ha sido muy popular en la comunidad física; muchos científicos han trabajado en él y lo han ampliado. Por ejemplo, se pueden extraer varias clases de universalidad a partir de argumentos de simetría simples relacionados con el movimiento de las partículas y su alineación. ^{[ 9 ]}

Además, en los sistemas reales, se pueden incluir muchos parámetros para ofrecer una descripción más realista: por ejemplo, se han modelado la atracción y la repulsión entre agentes (partículas de tamaño finito), la quimiotaxis (sistemas biológicos), la memoria, las partículas no idénticas y el líquido circundante.

Se ha desarrollado una teoría más simple, el modelo de Ising activo, ^{[ 10 ]} para facilitar el análisis del modelo de Vicsek.