Aritmética verbal

La aritmética verbal , también conocida como criptoaritmética , criptoaritmética o suma de palabras , es un tipo de juego matemático que consiste en una ecuación matemática entre números desconocidos , cuyos dígitos están representados por letras del alfabeto. El objetivo es identificar el valor de cada letra. El término puede extenderse a acertijos que utilizan símbolos no alfabéticos en lugar de letras.

La ecuación suele ser una operación aritmética básica , como la suma , la multiplicación o la división . El ejemplo clásico, publicado en el número de julio de 1924 de The Strand Magazine por Henry Dudeney , es: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}}$

La solución a este rompecabezas es O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 y S = 9.

Tradicionalmente, cada letra representa un dígito diferente y (como en la notación aritmética común) el primer dígito de un número de varias cifras no debe ser cero. Un buen acertijo debe tener una única solución y las letras deben formar una frase (como en el ejemplo anterior).

La aritmética verbal puede ser útil como motivación y fuente de ejercicios en la enseñanza del álgebra elemental .

Los acertijos de aritmética verbal son bastante antiguos y se desconoce su inventor. Un ejemplo de 1864 en The American Agriculturist ^{[ 2 ]} refuta la idea popular de que fue inventado por Sam Loyd . El nombre "criptaritmo" fue acuñado por el creador de acertijos Minos (seudónimo de Simon Vatriquant ) en el número de mayo de 1931 de Sphinx, una revista belga de matemáticas recreativas, y fue traducido como "criptaritmético" por Maurice Kraitchik en 1942. ^{[ 3 ]} En 1955, JAH Hunter introdujo la palabra "alfamético" para designar los criptoaritmos, como el de Dudeney, cuyas letras forman palabras o frases con significado. ^{[ 4 ]}

Entre los tipos de acertijos aritméticos verbales se incluyen el alfamético, el digimético y la división esquelética.

Alfamético

Un tipo de acertijo aritmético verbal en el que se escribe un conjunto de palabras en forma de una suma larga u otro problema matemático. El objetivo es reemplazar las letras del alfabeto con dígitos decimales para formar una suma aritmética válida.

Digimetic

Un acertijo aritmético verbal en el que se utilizan dígitos para representar otros dígitos.

División esquelética

Una división larga en la que la mayoría o la totalidad de los dígitos se sustituyen por símbolos (normalmente asteriscos) para formar un rompecabezas aritmético verbal.

Resolver un criptograma a mano generalmente implica una combinación de deducciones y pruebas exhaustivas de posibilidades. Por ejemplo, la siguiente secuencia de deducciones resuelve el acertijo SEND+MORE = MONEY de Dudeney (las columnas están numeradas de derecha a izquierda):

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}}$

1. De la columna 5, M = 1 ya que es el único acarreo posible de la suma de dos números de un solo dígito en la columna 4.
2. Dado que hay un acarreo en la columna 5, O debe ser menor o igual que M (de la columna 4). Pero O no puede ser igual a M, por lo tanto, O es menor que M. Por consiguiente, O = 0 .
3. Dado que O es 1 menos que M, S es 8 o 9 dependiendo de si hay un acarreo en la columna 4. Pero si hubiera un acarreo en la columna 4 (generado por la suma de la columna 3), N sería menor o igual que O. Esto es imposible ya que O = 0. Por lo tanto, no hay acarreo en la columna 4 y S = 9 .
4. Si no hubiera acarreo en la columna 3, entonces E = N, lo cual es imposible. Por lo tanto, hay un acarreo y N = E + 1.
5. Si no hubiera acarreo en la columna 2, entonces ( N + R ) mod 10 = E, y N = E + 1, por lo que ( E + 1 + R ) mod 10 = E, lo que significa que ( 1 + R ) mod 10 = 0, por lo que R = 9. Pero S = 9, por lo que debe haber un acarreo en la columna 2, por lo que R = 8 .
6. Para producir un acarreo en la columna 2, debemos tener D + E = 10 + Y.
7. Y es al menos 2, por lo que D + E es al menos 12.
8. Los únicos dos pares de números disponibles que suman al menos 12 son (5,7) y (6,7), por lo que o E = 7 o D = 7.
9. Dado que N = E + 1, E no puede ser 7 porque entonces N = 8 = R, por lo que D = 7 .
10. E no puede ser 6 porque entonces N = 7 = D, por lo que E = 5 y N = 6 .
11. D + E = 12, por lo tanto Y = 2 .

Otro ejemplo de TO+GO=OUT (fuente desconocida):

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{T}}&{\text{O}}\\+&&{\text{G}}&{\text{O}}\\\hline =&{\text{O}}&{\text{U}}&{\text{T}}\\\end{matrix}}}$

1. La suma de los dos números de dos dígitos más grandes es 99+99=198. Entonces O=1 y hay un acarreo en la columna 3.
2. Dado que la columna 1 está a la derecha de todas las demás columnas, es imposible que tenga un acarreo. Por lo tanto, 1+1=T y T=2 .
3. Como la columna 1 se calculó en el paso anterior, se sabe que no hay acarreo en la columna 2. Pero también se sabe que hay un acarreo en la columna 3 en el primer paso. Por lo tanto, 2+G≥10. Si G es igual a 9, U sería igual a 1, pero esto es imposible ya que O también es igual a 1. Así que solo es posible G=8 y con 2+8=10+U, U=0 .

El uso de la aritmética modular suele ser útil. Por ejemplo, el uso de la aritmética módulo 10 permite tratar las columnas de una suma como ecuaciones simultáneas , mientras que el uso de la aritmética módulo 2 permite realizar inferencias basadas en la paridad de las variables.

En informática , los criptogramas son buenos ejemplos para ilustrar el método de fuerza bruta y los algoritmos que generan todas las permutaciones de m opciones a partir de n posibilidades. Por ejemplo, el rompecabezas de Dudeney mencionado anteriormente se puede resolver probando todas las asignaciones de ocho valores entre los dígitos del 0 al 9 a las ocho letras S, E, N, D, M, O, R, Y, lo que da como resultado 1.814.400 posibilidades. También son buenos ejemplos del paradigma de retroceso en el diseño de algoritmos .

Cuando se generaliza a bases arbitrarias, el problema de determinar si un criptograma tiene solución es NP-completo . ^{[ 6 ]} (La generalización es necesaria para el resultado de dificultad porque en base 10, solo hay 10! posibles asignaciones de dígitos a letras, y estas se pueden comprobar con el rompecabezas en tiempo lineal).

Los juegos alfamétricos se pueden combinar con otros rompecabezas numéricos como el Sudoku y el Kakuro para crear Sudoku y Kakuro crípticos .

Anton Pavlis construyó un alfagrama en 1983 con 41 sumandos:

MUCHOS MÁS HOMBRES PARECEN DECIR QUE

ELLOS+PODRÍAN+INTENTAR+QUEDARSE+EN+CASA+PRONTO+

PARA+VER+O+OÍR+AL+MISMO+

HOMBRE+INTENTA+REUNIRSE+CON+EL+EQUIPO+EN+EL+LUGAR+

LUNA+COMO+ÉL+HA+EN+LOS+OTROS+DIEZ

=PRUEBAS

(La respuesta es que MUCHOS OTROS = 2764195083.) ^{[ 7 ]}

• Ecuación diofántica
• Rompecabezas matemáticos
• Permutación
• Rompecabezas
• Aritmética de lado de la escuela Wayside : un libro cuya trama gira en torno a estos acertijos.
• Criptograma

• Martin Gardner , Matemáticas, magia y misterio . Dover (1956)
• La revista Journal of Recreational Mathematics tenía una columna regular sobre alfametrismo.
• Jack van der Elsen, Alfamética . Mastrique (1998)
• Kahan S., Algunos problemas que resolver: El libro completo de alfametrismo, Baywood Publishing, (1978)
• Brooke M. Ciento cincuenta acertijos de criptoaritmética. Nueva York: Dover, (1963)
• Hitesh Tikamchand Jain, ABC de la criptoaritmética/alfametética. India (2017)
• Szilagyi, Miklos N. (2016). "Criptaritmética: introducción" (PDF) . Parábola . 52 (3).

• Solución mediante código Matlab y tutorial
• Criptoritmos en Cut-the-knot
• Weisstein, Eric W. "Alphametic" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Criptaritmética" . MathWorld .
• Alfametica y criptoaritmos