Filtro de velocidad

Un filtro de velocidad elimina las señales interferentes aprovechando la diferencia entre las velocidades de propagación de la forma de onda sísmica deseada y las señales interferentes no deseadas.

En aplicaciones geofísicas, los sensores se utilizan para medir y registrar las señales sísmicas. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Existen muchas técnicas de filtrado que producen una forma de onda de salida con una relación señal-ruido mayor que la de los registros individuales de los sensores. Los filtros de velocidad están diseñados para eliminar señales interferentes aprovechando la diferencia entre las velocidades de propagación de la forma de onda sísmica deseada y las señales interferentes no deseadas. ^{[ 3 ]} A diferencia de la salida unidimensional producida por el filtrado multicanal, los filtros de velocidad producen una salida bidimensional.

Consideremos un conjunto de N sensores que reciben una interferencia de banda ancha deseada y M interferencias no deseadas. Sea la medición del n -ésimo sensor modelada por la expresión:

dónde

• n = 1, 2, ..., N ;
• m = 0, 1, ..., M ;
• s _m (t) son señales que viajan a través del conjunto;
• ŋ _n ( t ) representa ruido aleatorio blanco de media cero en el n -ésimo sensor, no correlacionado de sensor a sensor.

Los parámetros a _mn y T _mn son la ganancia de amplitud y los retardos de tiempo de la señal s _m ( t ) cuando se recibe en el n- ésimo sensor.

Sin pérdida de generalidad , asumiremos que s ₀ ( t ) es la señal deseada y s ₁ ( t ), s ₂ ( t ), ..., s _M ( t ) son las interferencias no deseadas. Además, asumiremos que T _{0 n} = 0 y a _{0 n} = 1 . Esto significa esencialmente que los datos se han desplazado en el tiempo para alinear la señal sísmica deseada de modo que aparezca en todos los sensores al mismo tiempo y se han equilibrado de modo que la señal deseada aparezca con amplitudes iguales. Suponemos que las señales se digitalizan antes de ser registradas y que la longitud K de las secuencias temporales de datos registrados es lo suficientemente grande como para que las formas de onda interferentes retardadas completas se incluyan en los datos registrados. En el dominio de frecuencia discreto , la n -ésima traza se puede expresar como:

donde k = 0, 1, ..., K − 1; w _k = (2 π / K ) es la frecuencia angular de muestreo .

Utilizando la notación matricial, (2) se puede expresar de la siguiente forma:

Los filtros multicanal en el dominio de la frecuencia F ₁ ( k ), F ₂ ( k ), ..., F _N ( k ) se pueden aplicar a los datos para producir una única traza de salida de la forma: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

En forma matricial, la expresión anterior se puede escribir como:

donde F ( k ) es un vector N × 1 cuyos elementos son los filtros de canal individuales. Es decir,

Siguiendo el procedimiento descrito en Chen y Simaan (1990), ^{[ 6 ] [ 7 ]} se puede diseñar un vector de filtro óptimo F(k) para atenuar, en el sentido de mínimos cuadrados, las interferencias coherentes no deseadas S ₁ ( k ), S ₂ ( k ), ..., S _M ( k ) mientras se preserva la señal deseada S ₀ ( k ) en Y ( k ) . Se puede demostrar que este filtro tiene la forma:

donde h es un vector arbitrario N × 1 distinto de cero, u = [1,0,...,0] , I es la matriz identidad, B _r ( k ) es una submatriz de la matriz obtenida al eliminar todas las filas linealmente dependientes, y L ( k ) es una matriz triangular inferior que satisface:

$${\displaystyle [L(k)B_{r}(k)][L(k)B_{r}(k)]^{H}=I}$$

El esquema de procesamiento multicanal descrito por las ecuaciones 6 a 10 produce una señal de salida unidimensional. Un filtro de velocidad, por otro lado, es un filtro bidimensional que produce un registro de salida bidimensional.

Se puede generar un registro bidimensional mediante un procedimiento que implica la aplicación repetida de filtros óptimos multicanal a un pequeño número de submatrices superpuestas de los datos de entrada. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Más específicamente, consideremos un subconjunto de W canales, donde W << N , que se desliza sobre los datos de entrada como se muestra en la Fig. 1. Para cada posición del subconjunto, se puede diseñar un filtro multicanal óptimo basado en (9) de modo que las interferencias no deseadas se supriman de su traza de salida correspondiente. Al diseñar este filtro, usamos W en lugar de N en la expresión (9). Así, las trazas 1, 2, ..., W del registro de entrada producen la primera traza del registro de salida, las trazas K , K + 1, ..., K + W − 1 del registro de entrada producen la K -ésima traza del registro de salida, y las trazas N − W + 1, N − W + 2, ..., N del registro de entrada producen la ( N − W + 1) -ésima traza, que es la última traza, del registro de salida. Para un N grande y un W pequeño , como suele ser el caso en datos geofísicos, el registro de salida puede considerarse comparable en dimensiones al registro de entrada. Evidentemente, para que un esquema de este tipo funcione eficazmente, W debe ser lo más pequeño posible; al mismo tiempo, debe ser lo suficientemente grande como para proporcionar la atenuación necesaria de las señales no deseadas. Cabe destacar que un esquema de este tipo puede suprimir por completo un máximo de W − 1 interferencias no deseadas. ^{[ 10 ] [ 11 ]}