Método de Van der Pauw

Para realizar una medición, se hace fluir una corriente a lo largo de un borde de la muestra (por ejemplo, I ₁₂ ) y se mide el voltaje a través del borde opuesto (en este caso, V ₃₄ ). A partir de estos dos valores, se obtiene una resistencia (para este ejemplo,${\displaystyle R_{12,34}}$) se puede encontrar usando la ley de Ohm :

${\displaystyle R_{12,34}={\frac {V_{34}}{I_{12}}}}$

En su artículo, van der Pauw demostró que la resistencia superficial de muestras con formas arbitrarias se puede determinar a partir de dos de estas resistencias: una medida a lo largo de un borde vertical, como${\displaystyle R_{12,34}}$y una correspondiente medida a lo largo de un borde horizontal, como por ejemplo:${\displaystyle R_{23,41}}$La resistencia superficial real está relacionada con estas resistencias mediante la fórmula de van der Pauw.

${\displaystyle e^{-\pi R_{12,34}/R_{s}}+e^{-\pi R_{23,41}/R_{s}}=1}$

El teorema de reciprocidad ^{[ 7 ]} nos dice que$${\displaystyle R_{AB,CD}=R_{CD,AB}}$$

Por lo tanto, es posible obtener un valor más preciso para las resistencias.${\displaystyle R_{12,34}}$y${\displaystyle R_{23,41}}$realizando dos mediciones adicionales de sus valores recíprocos.${\displaystyle R_{34,12}}$y${\displaystyle R_{41,23}}$y promediando los resultados.

Nosotros definimos$${\displaystyle R_{\text{vertical}}={\frac {R_{12,34}+R_{34,12}}{2}}}$$y$${\displaystyle R_{\text{horizontal}}={\frac {R_{23,41}+R_{41,23}}{2}}}$$

Entonces, la fórmula de van der Pauw se convierte en$${\displaystyle e^{-\pi R_{\text{vertical}}/R_{S}}+e^{-\pi R_{\text{horizontal}}/R_{S}}=1}$$

Se puede obtener una mayor precisión en los valores de resistencia repitiendo las mediciones tras invertir la polaridad tanto de la fuente de corriente como del voltímetro. Dado que se sigue midiendo la misma porción de la muestra, solo que en la dirección opuesta, los valores de R _vertical y R _horizontal se pueden calcular como el promedio de las mediciones con polaridad estándar e invertida. La ventaja de este método es que se eliminan las tensiones de compensación, como los potenciales termoeléctricos debidos al efecto Seebeck .

La combinación de estos métodos con las mediciones recíprocas anteriores conduce a las fórmulas para las resistencias que se muestran a continuación.

${\displaystyle R_{\text{vertical}}={\frac {R_{12,34}+R_{34,12}+R_{21,43}+R_{43,21}}{4}}}$

y

${\displaystyle R_{\text{horizontal}}={\frac {R_{23,41}+R_{41,23}+R_{32,14}+R_{14,32}}{4}}}$

La fórmula de van der Pauw tiene la misma forma que en la sección anterior.

Ambos procedimientos verifican la repetibilidad de las mediciones. Si alguna de las mediciones de polaridad invertida no coincide con la medición de polaridad estándar correspondiente con un grado de precisión suficiente (generalmente dentro del 3%), es probable que exista una fuente de error en la configuración, la cual debe investigarse antes de continuar. El mismo principio se aplica a las mediciones recíprocas: deben coincidir con un grado de precisión suficiente antes de utilizarlas en cualquier cálculo.

En general, la fórmula de van der Pauw no se puede reordenar para dar la resistencia superficial R _S en términos de funciones conocidas. La excepción más notable a esto es cuando R _vertical = R = R _horizontal ; en este caso, la resistencia superficial viene dada por

${\displaystyle R_{S}={\frac {\pi R}{\ln 2}}}$

El cociente${\displaystyle \pi /\ln 2}$Se conoce como la constante de van der Pauw y tiene un valor aproximado de 4,53236. En la mayoría de los demás casos, se utiliza un método iterativo para resolver numéricamente la fórmula de van der Pauw para R _S. Normalmente, se considera que una fórmula no cumple las precondiciones del Teorema del Punto Fijo de Banach , por lo que los métodos basados ​​en ella no funcionan. En cambio, los intervalos anidados convergen lenta pero constantemente. Sin embargo, recientemente se ha demostrado que una reformulación adecuada del problema de van der Pauw (por ejemplo, introduciendo una segunda fórmula de van der Pauw) lo hace completamente soluble mediante el método del punto fijo de Banach. ^{[ 8 ]}

Como alternativa, el método de Newton-Raphson converge con relativa rapidez. Para reducir la complejidad de la notación, se introducen las siguientes variables:

${\displaystyle s=e^{-\pi /{R_{s}}}}$

${\displaystyle R_{v}=R_{vertical}}$

${\displaystyle R_{h}=R_{horizontal}}$

Luego la siguiente aproximación${\displaystyle R_{s}^{+}}$se calcula mediante

${\displaystyle R_{s}^{+}=R_{s}+R_{s}^{2}{\frac {1-s^{R_{v}}-s^{R_{h}}}{\pi (R_{v}s^{R_{v}}+R_{h}s^{R_{h}})}}}$

Cuando una partícula cargada , como un electrón , se coloca en un campo magnético , experimenta una fuerza de Lorentz proporcional a la intensidad del campo y a la velocidad a la que se desplaza a través de él. Esta fuerza es máxima cuando la dirección del movimiento es perpendicular a la dirección del campo magnético; en este caso, la fuerza

${\displaystyle F_{L}=qvB\,\!}$

dónde${\displaystyle q}$es la carga de la partícula en culombios ,${\displaystyle v}$la velocidad a la que viaja (centímetros por segundo ), y${\displaystyle B}$la intensidad del campo magnético ( Wb /cm² ⁾ . Cabe destacar que en la industria de los semiconductores se suelen usar centímetros para medir la longitud, por lo que aquí se emplean en lugar de las unidades del SI , los metros.

Cuando se aplica una corriente a un material semiconductor, se produce un flujo constante de electrones a través del material (como se muestra en las partes (a) y (b) de la figura adjunta). La velocidad a la que viajan los electrones es (véase corriente eléctrica ):

${\displaystyle v={\frac {I}{nAq}}}$

dónde${\displaystyle n}$es la densidad electrónica ,${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal del material y${\displaystyle q}$la carga elemental (1,602×10 ⁻¹⁹ culombios ).

Si se aplica un campo magnético externo perpendicular a la dirección del flujo de corriente, la fuerza de Lorentz resultante provocará que los electrones se acumulen en un borde de la muestra (véase la parte (c) de la figura). Combinando las dos ecuaciones anteriores y teniendo en cuenta que${\displaystyle q}$es la carga de un electrón, lo que da como resultado una fórmula para la fuerza de Lorentz experimentada por los electrones:

${\displaystyle F_{L}={\frac {IB}{nA}}}$

Esta acumulación creará un campo eléctrico a través del material debido a la distribución desigual de la carga, como se muestra en la parte (d) de la figura. Esto, a su vez, genera una diferencia de potencial a través del material, conocida como voltaje de Hall.${\displaystyle V_{H}}$Sin embargo, la corriente continúa fluyendo solo a lo largo del material, lo que indica que la fuerza sobre los electrones debida al campo eléctrico equilibra la fuerza de Lorentz. Dado que la fuerza sobre un electrón debida a un campo eléctrico... ${\displaystyle \epsilon }$es${\displaystyle q\epsilon }$, podemos decir que la intensidad del campo eléctrico es, por lo tanto

${\displaystyle \epsilon ={\frac {IB}{qnA}}}$

Finalmente, la magnitud del voltaje Hall es simplemente la intensidad del campo eléctrico multiplicada por el ancho del material; es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{H}&=w\epsilon \\&={\frac {wIB}{qnA}}\\&={\frac {IB}{qnt}}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle t}$es el espesor del material. Dado que la densidad de la lámina${\displaystyle n_{s}}$Se define como la densidad de electrones multiplicada por el espesor del material, podemos definir el voltaje Hall en términos de la densidad superficial:

${\displaystyle V_{H}={\frac {IB}{qn_{s}}}}$

Se deben realizar dos series de mediciones: una con un campo magnético en la dirección positiva del eje z , como se muestra arriba, y otra con él en la dirección negativa del eje z . De ahora en adelante, los voltajes registrados con un campo positivo tendrán el subíndice P (por ejemplo, V _{13, P} = V _{3, P} - V _{1, P} ) y los registrados con un campo negativo tendrán el subíndice N (como V _{13, N} = V _{3, N} - V _{1, N} ). Para todas las mediciones, la magnitud de la corriente inyectada debe mantenerse constante; la magnitud del campo magnético también debe ser la misma en ambas direcciones.

En primer lugar, con un campo magnético positivo, se aplica la corriente I ₂₄ a la muestra y se registra el voltaje V _{13, P} ; tenga en cuenta que los voltajes pueden ser positivos o negativos. Luego, esto se repite para I ₁₃ y V _42, P.

Como antes, podemos aprovechar el teorema de reciprocidad para verificar la exactitud de estas mediciones. Si invertimos la dirección de las corrientes (es decir, aplicamos la corriente I ₄₂ y medimos V _{31, P} , y repetimos el proceso para I ₃₁ y V _{24, P} ), entonces V _{13, P} debería ser igual a V _{31, P} con un margen de error suficientemente pequeño. De manera similar, V _{42, P} y V _{24, P} deberían coincidir.

Una vez completadas las mediciones, se aplica un campo magnético negativo en lugar del positivo y se repite el procedimiento anterior para obtener las mediciones de voltaje V _{13, N} , V _{42, N} , V _{31, N} y V _{24, N} .

Inicialmente, se calcula la diferencia de voltajes para campos magnéticos positivos y negativos:

V ₁₃ = V _{13, P} − V _{13, N} V ₂₄ = V _{24, P} − V _{24, N} V ₃₁ = V _{31, P} − V _{31, N} V ₄₂ = V _{42, P} − V _{42, N}

El voltaje Hall total es entonces

${\displaystyle V_{H}={\frac {V_{13}+V_{24}+V_{31}+V_{42}}{8}}}$.

La polaridad de este voltaje Hall indica el tipo de material del que está hecha la muestra; si es positivo, el material es de tipo P, y si es negativo, el material es de tipo N.

La fórmula dada en segundo plano se puede reorganizar para mostrar que la densidad de la lámina

${\displaystyle n_{s}={\frac {IB}{q|V_{H}|}}}$

Tenga en cuenta que la intensidad del campo magnético B debe estar en unidades de Wb/cm² ^si n _s está en cm⁻² ^. Por ejemplo, si la intensidad se da en las unidades comúnmente utilizadas de teslas , se puede convertir multiplicándola por ^10⁻⁴ .

Se puede demostrar que la resistividad de un material semiconductor es ^{[ 9 ].}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{q(n\mu _{n}+p\mu _{p})}}}$

donde n y p son la concentración de electrones y huecos en el material respectivamente, y μ _n y μ _p son la movilidad de los electrones y huecos respectivamente.

Generalmente, el material está suficientemente dopado como para que exista una diferencia de muchos órdenes de magnitud entre las dos concentraciones, lo que permite simplificar esta ecuación a

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{qn_{m}\mu _{m}}}}$

donde n _m y μ _m son el nivel de dopaje y la movilidad del portador mayoritario, respectivamente.

Si observamos que la resistencia superficial R _S es la resistividad dividida por el espesor de la muestra, y que la densidad superficial n _S es el nivel de dopaje multiplicado por el espesor, podemos dividir la ecuación por el espesor para obtener

${\displaystyle R_{s}={\frac {1}{qn_{s}\mu _{m}}}}$

Esto se puede reorganizar para obtener la movilidad de los portadores mayoritarios en función de la resistencia superficial y la densidad superficial calculadas previamente:

${\displaystyle \mu _{m}={\frac {1}{qn_{s}R_{s}}}}$